Avete tutti ragione, ovviamente e, come si vede, le dimostrazioni possono essere molte, sia di puro ragionamento che di calcolo algebrico. Io ne propongo due, dove la seconda è praticamente quella di Andy.

Spesso si sono sollevate discussioni sul fatto che 0.9 periodico sia proprio uguale a 1. Esse si basano sul fatto che 0.9999... sembrerebbe avvicinarsi a 1, ma gli manca sempre qualcosetta, un po' come per Achille con la tartaruga. Va, invece, tenuto conto che la periodicità significa essa stessa qualcosa di infinito e quindi le due scritture 1 e 0.99999 sono perfettamente identiche, così come lo è anche 1 = 1.00000... periodico. Come dice anche Fabrizio non esiste un decimale che possa inserirsi tra 0.9999.... e 1 e nemmeno tra 1 e 1.00000....

Vi sono molti modi per dimostrarlo e noi ne consideriamo due, il primo estremamente veloce e intuitivo; il secondo matematicamente rigoroso.

Poniamo

x = 0.99999...

Moltiplichiamo ambo i membri per 10, il che equivale anche a spostare la virgola verso destra:

10x = 9.999999....

Sottraiamo la prima relazione dalla seconda:

10x - x = 9.999999.... - 0.999999....

9x = 9

x = 9/9 = 1

c.v.d.

Passiamo ora a una versione decisamente più rigorosa che non lascia scampo a dubbio alcuno.

Ricordiamoci la serie geometrica:

∑_{n = 0}^∞ xⁿ

Essa converge quando x (numero reale) è compreso, in modulo, tra 0 e 1 e il valore della sommatoria è:

∑_{n = 0}^∞ xⁿ  = 1/(1 - x)

Bene... scriviamo il nostro 0.99999... in modo un po' elaborato. Esso è composto da 0.9 = 9/10, a cui va aggiunto 0.09 = 9/100, poi 0.009 = 9/1000 e via dicendo. In altre parole, possiamo scrivere che:

0.9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

0.9999... = (9/10)(1 + 1/10 + 1/00 + ...)

0.9999... = ∑_{n = 0}^∞ (9/10) (1/10)ⁿ  = (9/10)∑_{n = 0}^∞ (1/10)ⁿ

La sommatoria è una serie geometrica in cui x = 1/10 è sicuramente maggiore di zero e minore di 1. Ne segue che la serie converge al valore

1/(1 - x) = 1/(1 - 1/10) = 1/(9/10) = 10/9

Ossia:

0.9999... = (9/10)(10/9)

0.9999... = 1

c.v.d

Sempre bene a sapersi, ma noi passiamo a qualcosa di leggermente più difficile...

QUI il quiz