Prima di iniziare, vi faccio notare che x elevato al quadrato (e via dicendo) l'ho indicato come x^2, altrimenti avrei dovuto usare Latex, ma abbiamo notato che spesso e volentieri le scritte in Latex spariscono dopo un po' di tempo... (perché ?). Se conoscete modi alternativi fatemelo sapere... Spero di non aver fatto errori, se non fatemelo sapere (vado un po' di fretta...).

16 ^{x^2 + y} + 16 ^{y^2 + x} = 1

Entrambi i numeri sono maggiori di 0.

Vale il dato di fatto che la media aritmetica di due numeri positivi è sempre maggiore o uguale alla media geometrica, ossia:

(a + b)/2 ≥ √ab

 a + b ≥ 2 √ab

Ne segue una seconda disuguaglianza...

1 = 16 ^{x^2 + y} + 16 ^{y^2 + x} ≥ 2√(16 ^{x^2 + y}  ∙ 16 ^{y^2 + x} )

1 ≥ 2√(16 ^{x^2 + y}  ∙ 16 ^{y^2 + x} )

1 ≥ 2(16 ^{x^2 + y}  ∙ 16 ^{y^2 + x} )^1/2

1 ≥ 2(4^{2(x^2 + y)}  ∙ 4^{2(y^2 + x )})^1/2

1 ≥ 2(4^{x^2 + y}  ∙ 4^{y^2 + x} )

Essendovi una moltiplicazione possiamo trasportare gli esponenti...

1 ≥ 2(4^{x^2 + x}  ∙ 4^{y^2 + y} )

riporto la base a 4

1 ≥ 4^1/2(4^{x^2 + x}  ∙ 4^{y^2 + y} )

aggiungo un esponente e lo divido a metà (a^m (a ^{n + p}  ·  a^{q + r} ) = a^{n + p + m/2} · a^{q+ r + m/2})

1 ≥ 4^{x^2 + x + 0.25}  ∙ 4^{y^2 + y + 0.25}

1 ≥ 4 ^{(x + 0.5)^2}  ∙ 4^{(y + 0.5)^2}

Entrambi gli esponenti sono maggiori di zero (sono quadrati)

4 elevato a qualcosa maggiore o uguale a zero deve essere maggiore o uguale a 1

1 ≥ 4 ^{(x + 0.5)^2}  ∙ 4^{(y + 0.5)^2} ≥1

L'unico modo perché sia valida la doppia disuguaglianza è che la moltiplicazione dei due fattori sia uguale a 1.

4 ^{(x + 0.5)^2}  ∙ 4^{(y + 0.5)^2} = 1

Dato che gli esponenti non possono essere minori di zero (sono quadrati), l’UNICA possibilità per avere l’eguaglianza è che entrambi siano uguali a zero (altrimenti il prodotto sarebbe SEMPRE maggiore di 1)

x + 0.5 = y + 0.5 = 0

x + 0.5 = 0

x = - 0.5

analogamente:

y = - 0.5

Questa è l’unica soluzione!