Con questo articolo concludiamo il discorso sui flessi e sulle cubiche, lavorando sulla loro forma completa. Non si deve, però, solo leggere ma anche … agire direttamente.

Le cose si possono complicare ancora un po’. Siate forti e non desistete proprio adesso che viene il bello. Finora, nella nostra cubica, abbiamo escluso o il termine in x², ossia quello che ha coefficiente b, o quello in x (coefficiente c). E’ ora di introdurli tutti e due e studiare la cubica completa (o quasi).

Consideriamo nuovamente i due casi, quello con soluzioni reali dell’equazione che annulla la derivata prima e quella con soluzioni immaginarie. La relazione che ci permette di scegliere i coefficienti adatti è (se necessario, andate a rivedere gli articoli precedenti...):

b² – 3ac      …. (1)

Se questa è maggiore di zero abbiamo due soluzioni reali; se è minore di zero, non abbiamo soluzioni reali; se è uguale a zero ne abbiamo due coincidenti. Dovremmo già sapere bene che tipo di curve otterremo nei vari casi, ma non fa certo male fare nuovamente degli esempi pratici.

Affinché la relazione precedente sia maggiore di zero deve essere:

b² – 3ac > 0

b² > 3ac

Poniamo ad esempio a = 1

Otteniamo

b² > 3c

o anche

c < b²/3

Poco importa il segno di b, dato che la relazione impone solo che c sia minore del quadrato di b (sempre positivo) diviso per tre.

Poniamo allora b = 3 e otteniamo:

c < 9/3 = 3

Possiamo quindi scegliere per c qualsiasi valore minore di 3, ad esempio 2.

Abbiamo, perciò

a = 1

b = 3

c = 2

Il termine noto d può essere scelto a piacere, dato che NON compare nella derivata prima. Possiamo, perciò, sceglierlo uguale a zero (semplifichiamo un po’ la faccenda). Non è difficile capire, però, cosa succederebbe se non fosse uguale a zero. Le ascisse che individuano i punti particolari (quelli che annullano la derivata prima e non solo) restano immutati. Ciò che cambia è solo la y corrispondente, che viene spostata verso l’alto o verso il basso a seconda del segno di d. Conclusione, questa, che abbiamo già discusso precedentemente.

Controlliamo di aver fatto le operazioni giuste, riscrivendo la relazione (1) e vediamo se è veramente maggiore di zero

b² – 3ac

3² – 3·1·2 = 9 - 6 = 3 > 0

Perfetto!

Possiamo, allora scrivere la nostra funzione di terzo grado (quasi) completa:

y = x³ + 3x² + 2x        

y’ = 3x² + 6x + 2 = 0        …. (2)

Utilizziamo prima la soluzione generalizzata letterale

x₁ = (- b - (b² – 3ac)^1/2)/3a = ( - 3 – (9 – 6)^1/2)/3 = (- 3 + √3)/3 = (- 3 – 3/√3)/3 = - 1 – 1/√3

x₂ = (- b + (b² – 3ac)^1/2)/3a = (- 3 + (9 – 6)^1/2)/3 = (- 3 + √3)/3 = (- 3 + 3/√3)/3 = - 1 + 1/√3

Avremmo, ovviamente, potuto risolvere direttamente l’equazione (2) (come si farebbe nel caso di una funzione qualsiasi).

x_1,2 = (- 6 +/- ( 36 –24)^1/2)/12 =  (- 6 +/- 2 √3)/12 =  (- 3 +/- √3)/3 =  (- 3 +/- 3/√3)/3 = - 1 +/– 1/√3

Riflettete bene su come abbiamo agito: è un ottimo esercizio di calcolo letterale e numerico.

Notate che per eseguire il penultimo passaggio  ho moltiplicato e diviso √3 per √3/√3

Beh… lascio a voi il calcolo delle y₁ e y₂ corrispondenti. Vi do, però, un consiglio… ponete  t = 1/√3, in modo da portarvi dietro l’espressione  (-1 +/- t), su cui eseguire il cubo e il quadrato. Le cose si semplificheranno notevolmente e potrete subito vedere che le due y sono simmetriche rispetto all’asse x e che il risultato è esprimibile con un rapporto  in cui è presente ancora la radice di 3. Per fare esperienza, vi chiederei di non calcolare i valori numerici di x₁ e x₂ (ossia calcolare la radice di tre e poi dividere uno per lei e sommare o sottrarre ancora a uno), ma di lasciare le due ascisse sotto la forma scritta prima… E’, ovviamente, una richiesta  legata alla necessità di esercitarsi, dato che normalmente si potrebbe calcolare il valore numerico finale.

Passiamo alla derivata seconda:

y” = 6x + 6 = 0

Da cui

x_F = - 6/6 = -1

che cade, ovviamente, a metà strada tra x₁ e x₂.

y_F = (-1)³ + 3(-1)² – 2 = -1 + 3 – 2 = 0

Il punto di flesso (obliquo, dato che la derivata prima in questo punto è diversa da zero) ha coordinate:

x_F  = -1

y_F = 0

La funzione è di terzo grado e quindi devono essere tre i punti che annullano la y.

Uno è il punto di flesso che abbiamo trovato. L’altro è sicuramente l’origine, dato che per x = 0 anche y = 0

Per trovare il terzo, basta che annulliamo la funzione, mettendo in evidenza la x

x (x² + 3x+ 2) = 0

Una soluzione è ovviamente x = 0.

Le altre due si trovano annullando la parentesi tonda (equazione di secondo grado):

x_{1,2 [y = 0]} = (- 3 +/- (9 – 8 )^1/2)/2 = (- 3 +/- 1)/2

x_{1[y = 0]} = (- 3 + 1)/2 = -1          il punto di flesso già trovato

x_{2[y = 0]}  = (- 3 – 1)/2 = - 2

Le intersezioni con l'asse x sono sempre molto importanti per disegnare correttamente la curva finale.

Non ci resta, adesso, che scoprire qual è il massimo e qual’e il minimo tra (x₁, y₁) e (x₂, y₂)

La derivata seconda vale:

y” = 6x + 6

Per

x1 = - 1 – 1/√3

si ha:

6 (-1 – 1/√3) + 6 = - 6 + 6  - 6/√3 = - 6/√3 < 0

(x₁,y₁) è un punto di massimo

x₂ = - 1 + 1/√3

6 (-1 + 1/√3) + 6 = - 6 + 6 + 6/√3 > 0

(x₂,y₂) è ovviamente un minimo

Il flesso, allora, deve essere ascendente dato che si passa da derivata seconda negativa a derivata seconda positiva.

Non ci resta che calcolare la tangente nel punto di flesso per un miglior disegno (e per conferma)

y’ = 3x² + 6x + 2

m = y’(-1) = 3 · 1 - 6 + 2 = - 1

Questa soluzione si poteva ricavare immediatamente, ricordando quanto avevamo trovato precedentemente, ossia:

m = - b²/3a + c = - 9/3 + 2 = - 3 + 2 = - 1

y – 0 = - 1 (x + 1)

y = - x – 1

A questo punto, potete divertirvi a disegnare il grafico della funzione…

Passiamo, adesso, a un caso completo in cui la derivata prima non abbia soluzioni reali. Lasciamo sempre d = 0.

L’espressione

b² – 3ac

deve essere, adesso, minore di zero.

Poniamo, di nuovo, a = 1

Da cui:

b² < 3c

Ossia:

c > b²/3

Scegliamo, nuovamente, b = 3

e abbiamo:

c > 3

Scegliamo c = 4 e la funzione diventa:

y = x³ +3x² + 4x

Quando è  uguale a zero?

y = x(x² + 3x + 4) = 0

Sicuramente, la curva taglia l’asse x in x = 0, y = 0.

Troviamo le soluzioni dell’equazione tra parentesi:

x² + 3x + 4 = 0

x_{1,2 [y = 0]} = (- 3 +/- (9 – 16)^1/2)/2 = (- 3 +/- (-7)^1/2)/2

Impossibile! Compare una radice quadrata di un numero negativo. L’unico punto in cui la curva taglia l’asse x è l’origine.

Potremo annullare la derivata prima, ma è inutile perché anch’essa, per come abbiamo scelto i coefficienti, non può avere soluzioni. Non ci resta che annullare la derivata seconda. Se essa ammette una soluzione, questa deve dare luogo a un punto di flesso obliquo dato che la derivata prima non si annulla mai.

y’ = 3x² + 6x + 4

y” = 6x + 6 = 0

Da cui:

6x = - 6

x_F = - 1

Sostituendo nella funzione di partenza, otteniamo

y_F = (-1)³ +3(-1)² + 4(-1) = -1 +3 – 4  = - 2

La derivata seconda è negativa prima del punto di flesso e poi diventa positiva. Il flesso è, quindi, ancora ascendente.

Troviamo la retta tangente nel punto di flesso:

m = y’(-1) = 3 – 6 + 4 = 1

oppure (ma è la stessa cosa):

m = - b²/3a + c = - 9/3 + 4 = - 3 + 4 = 1

y – (- 2) = 1(x + 1)

y + 2 = x + 1

y = x – 1

A questo punto potete passare a disegnare il grafico.

Per non farci mancare niente, facciamo anche il caso in cui esista una e una sola soluzione che annulla la derivata prima. Ciò vuol dire che:

b² – 3ac  = 0

Poniamo, come sempre, a = 1 e b = 3. Ne segue subito che:

9 – 3c  = 0

c = 3

La funziona è allora:

y = x³ + 3x² + 3x

Dove si annulla? Sicuramente per x = 0 (a cui corrisponde y = 0) e poi per:

x² + 3x + 3 = 0

Ossia:

x = (- 3 +/- ( 9 – 12))/6

Nessuna soluzione reale.

Annulliamo la derivata prima che deve avere, ovviamente, una sola soluzione (provare per credere):

y’ = 3x² + 6x + 3 = 0

x₁= - b/3a  =  - 3/3 = - 1

E la y corrispondente vale:

y₁= - 1 + 3·1 – 3 = - 1

Annulliamo la derivata seconda:

y” = 6x + 6 = 0

x_F = - 1

e quindi anche

y_F = - 1

Nel punto F(-1, -1) si annulla, perciò, sia la derivata prima che la seconda: abbiamo un punto di flesso orizzontale.

Per x < -1 la derivata seconda è negativa, per x > -1 la derivata seconda è positiva, per cui il flesso è ascendente.

Ovviamente, la tangente è una retta parallela all’asse delle x e vale.

y = - 1

Il grafico, come sempre, tocca a voi!

Rileggendo gli articoli precedenti non ci stupiremo di certo se abbiamo sempre trovato come ascissa del flesso (qualunque esso sia) il valore -1, dato che:

- b/3a = - 1  sempre.

Abbiamo fatti molti esempi e li abbiamo trattati a volte rifacendoci alle formule generali e a volte svolgendo i calcoli. Potremmo anche aver fatto un po’ di confusione, ma leggendo e rileggendo, facendo confronti e stabilendo uguaglianze sono sicuro che in questo modo l’essenza del procedimento diventi sempre meno legato a regole standard, memorizzate una volta per tutte. La matematica deve essere una continua conquista e non deve mai apparire un linguaggio monotono e ripetitivo: è sempre possibile scoprire un modo diverso per trovare lo stesso risultato.

Tra un po’ inserirò anche le figure per permettervi un confronto. Avendo eseguito i passaggi direttamente su word è facile che mi sia scappato qualche errore . Mi fido, comunque, di voi per “beccarli” subito! Chiedo scusa in anticipo.

Bene salutiamo i flessi e dirigiamoci verso gli asintoti, che parzialmente conosciamo già.

 

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