Categorie: Matematica
Tags: cerchi intersecantisi configurazioni geometria Olimpiadi quiz soluzione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:18
(Q) Soluzione completa dei cerchi olimpionici (NEW) ***
Sono contento di aver visto in piena azione alcuni tra i migliori "geometri" del Circolo. Dopo vari tentativi, siamo finalmente giunti alla soluzione finale del quiz: le possibili configurazioni sono 14, come vengono mostrate nella figura che segue, che è stata anche riportata nell'ultimo commento di Mau.
Il fatto di aver considerato prima tre cerchi uguali, poi un cerchio più piccolo, poi due cerchi più piccoli e, infine, tre cerchi diversi, non fa perdere in generalità ad ogni singola configurazione.
Penso sia interessante riportare, caso per caso, le caratteristiche salienti delle 14 configurazioni (ci sarà sicuramente un modo più raffinato...)
1) tre cerchi separati
2) due cerchi intersecantisi e uno esterno
3) un cerchio intersecante gli altri due che non si intersecano
4) un cerchio contenente l'intersezione degli altri due
5) tre cerchi intersecantesi tra di loro con una parte centrale in comune che non appartiene a un solo cerchio
6) tre cerchi intersecantesi tra di loro con una parte centrale che NON appartiene a nessuno dei tre
7) il cerchio piccolo è contenuto in un cerchio che non interseca il terzo
8 ) il cerchio piccolo è contenuto in un cerchio che interseca il terzo
9) il cerchio piccolo è contenuto in un cerchio ed è intersecato dal terzo che interseca anche il secondo
10) il cerchio piccolo è contenuto nell'intersezione degli altri due
11) il cerchio piccolo interseca gli altri due ed è contenuto nella loro unione
12) i due cerchi piccoli sono contenuti nel terzo ma non si intersecano
13) i due cerchi piccoli sono contenuti nel terzo e si intersecano
14) i tre cerchi sono uno contenuto nell'altro
Notiamo che i casi 4, 5 e 11 possono portare a configurazioni che appaiono uguali ma non lo sono. Il caso 6 è forse il meno facile da intuire.
La ricerca di un algoritmo capace di PREVEDERE il numero totale di configurazioni non sembra aver avuto successo. Pensate che lo si possa scoprire portando a quattro il numero di cerchi in gioco? E magari applicarlo a cinque cerchi?
Ebbene, la risposta è NO! Non si è mai trovato un algoritmo capace di prevedere il numero di configurazioni. Andando avanti a tentativi e con regole parziali si è però arrivati a stabilire il numero di configurazioni con 4 cerchi che sono 173. Per ringraziare Mau della tenacia che ha avuto riporto di seguito tutte le configurazioni con 4 cerchi.
Avrete già capito che il numero cresce in modo esponenziale e, infatti, 5 cerchi danno ben 16951 configurazioni. Un'impresa quasi sovrumana. Non per niente, nessuno ha mai calcolato il numero di configurazioni ottenibile con 6 cerchi.
Che dire? Forse potrebbe tentarci Oreste (così lascerebbe in pace Mau) e ce lo toglieremmo dai piedi probabilmente per qualche mese se non anno...
Vi prometto che dopo un ulteriore quiz sui tre cerchi (semplice) li metteremo a tacere...
18 commenti
Nella saga di Douglas Adams della Guida galattica per gli autostoppisti, 42 è la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto.
42 è anche un numero ricorrente nelle opere di Lewis Carroll.
Personalmente non credo che 42 sia anche il numero stimato delle configurazioni di 4 cerchi ma, dopo una breve riflessione, direi ( con lo stesso margine di errore di Adams) che il minimo numero di configurazioni non può essere minore di 28 mentre il massimo non dovrebbe essere maggiore di 189.
La breve riflessione mi induce anche a dire che le configurazioni potrebbero essere 108 (circa).
Sui 5 cerchi non ho ancora fatto alcuna riflessione, neppure breve.
P.S.
Nel 1993, ad un gruppo di fan che gli aveva chiesto: " Perché 42 è la risposta a tutto?" Douglas Adams ha dato la sua spiegazione. la trovate qui, assieme ad altre considerazioni sul numero 42.
Mi ricorda un "brevissimo" racconto di fantascienza, nel quale allo stesso supercomputer era stata rivolta la domanda: "Esiste Dio?". La risposta fu immediata: "ADESSO sì!"
Attendo altre stime sui 4 e 5 cerchi...
Un ragionamento spericolato che parte dalla conoscenza della precedente collezione di configurazioni per 3 cerchi:
Prima fase – nessuna nuova intersezione
Partendo dalla collezione di 14 Configurazioni di 3 cerchi (C3) così come sono identificate nella tabella della soluzione ufficiale, valuto in questa prima fase il numero di nuove Configurazioni di 4 cerchi (C4) in cui il quarto cerchio, quello che viene aggiunto, NON INTERSECA alcun altro cerchio.
Se ogni configurazione C3
- viene semplicemente AFFIANCATA dal nuovo cerchio, si generano 14 C4
- viene COMPLETAMENE CIRCONDATA si generano altre 14 C4
Tra queste 28 C4 non ci sono duplicati.
Proseguo questa fase collocando il nuovo cerchio, sempre senza intersecarlo con altri, INSERENDOLO negli spazi che sono i sottoinsiemi presenti in ogni C3 .
Valuto il numero di tipi distinti di questi sottoinsiemi (che chiamo ZONE) in ciascuna C3 in cui siano già presenti intersezioni ( sono le 10 che vado a scrivere in grassetto in rosso )
C3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ZONE 1 3 3 4 3 3 3 4 5 3 4 2 3 3
In totale ho trovato 35 ZONE utilizzabili per gli inserimenti.
Se non ci fossero duplicati tra queste configurazioni e le precedenti 28, generando le nuove figure arriverei ad avere 28 + 35 = 63 casi.
Seconda fase – generazione di nuove intersezioni
Operando sulle 10 Configurazioni di 3 cerchi (C3) che già presentano intersezioni, valuto ora il numero di nuove Configurazioni di 4 cerchi (C4) in cui il quarto cerchio aggiunto INTERSECA uno o più altri cerchi.
Il numero di tipi di intersezioni (che chiamo INT e indico in grassetto in rosso) che posso aggiungere in ciascuna C3 è dato dalla tabella seguente
C3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
INT 3 8 8 8 8 11 5 8 8 8 8 5 8 6
In totale ho trovato 83 casi di intersezioni aggiuntive (INT).
Un esempio di identificazione delle nuove intersezioni, per il caso più complicato, il numero 6, è illustrato in questa figura:
Ogni configurazione di queste 83 potrebbe duplicare una delle altre 82 che sto generando oppure una delle 63 ottenute in precedenza.
In assenza di duplicati avrei 28 + 35 + 83 = 146 configurazioni C4
Quindi l'intervallo va da un minimo di 63 ad un massimo di 146.
Utilizzando questo metodo per stimare quante sono le configurazione di 3 cerchi, partendo dalla conoscenza della collezione di configurazioni di 2 cerchi si ottengono le 14 configurazioni che ora conosciamo senza che si debbano escludere duplicati. Naturalmente questo fatto non ci autorizza a prendere per certa la stima di 146 configurazioni per il caso di 4 cerchi anzi, il fatto che 146 non sia multiplo di 42 fa presagire che sia sbagliato.
Mi inquieta comunque l'idea che , se le configurazioni fossero un centinaio, dovrei disegnare 400 cerchi.
Figuriamoci nel caso dei 5 cerchi...
Ho intrapreso l'esplorazione delle aggiunte di cerchi con intersezioni.
In ciascuna di queste configurazioni 2, 3, 4, 5, ho trovato una possibile intersezione in più: 9 invece delle 8 previste. Non avevo considerato i cerchi quasi-tangenti esterni che lasciano uno spazio triangolare al centro, insomma la configurazione 6, la più elusiva delle C3.
Lo schema di queste varianti è il seguente:
Il metodo mi sembra molto oneroso per la necessità di verificare la presenza di eventuali duplicati, dato che non la si può escludere con certezza a priori.
Non solo vanno verificati i duplicati all'interno di questa mappa, ma anche confrontando ogni figura con le altre configurazioni che verranno generate con il metodo descritto nel precedente commento.
Questa è la mappa degli inserimenti (spero completa) dopo che ho rimosso alcune duplicazioni
dato che il numero di queste configurazioni è 28, a questo punto il limite inferiore diventa:
14 (affiancamenti) + 14 (circondamenti) + 28 (inserimenti) = 56
Ricordo che questo risultato considera l'aggiunta del quarto cerchio SENZA generare nuove intersezioni
Aumenterà certamente considerando le intersezioni, che non possono generare solo duplicazioni.
Resta pertanto da completare la mappa delle intersezioni, ma.... ci penserò domani.
Un momento di relax con " l'Osservazione cosmica " : 14 = 42 /3 e 28 = 42 * 2 / 3 Ottimo auspicio !
Questo Bernardi ...
Nella sua follia c'è del metodo ? O, più probabilmente, nel suo metodo c'è della follia? ...
Taci Oreste! Onore alla tenacia di Mau!!
Tirando le somme ...
Ho concluso lo studio delle possibili intersezionI , sempre cercando di individuare duplicati da eliminare, ma anche trovando alcune configurazioni che erano state omesse. In questi ultimi rari casi le ho "recuperate" aggiungendole nelle varianti di alcune configurazioni (che altrimenti sarebbero risultate dei duplicati).
Insomma, pur con qualche sbavatura rspetto al metodo descritto, considerando anche una certa compensazione tra eventuali duplicati residui e qualche configurazione dimenticata, penso che la stima di 150 non sia molto lontana dal vero.
Le sei figure che seguono rappresentano 149 configurazioni tra 14 "affiancamenti", 14 "circondamenti", 28 "inserimenti" e 93 "intersezioni"
Osservazione: Questo catalogo di configurazioni, che potrebbe risultare più leggibile articolando le singole immagini in gruppi più piccoli, è stato generato con un metodo piuttosto laborioso, che richiede grande cura per valutare i duplicati e non perdere qualche elusiva configurazione.
Mi auguro che vi sia un metodo più efficiente e sicuro per la generazione dei casi, producendo direttamente. tutti e solo quelli significativi.
Ma anche in questo caso, se ci soffermiamo a riflettere sulla proliferazioni delle configurazioni ad ogni aggiunta di un cerchio, vediamo che dalla unica configurazione ottenibile con un solo cerchio, si passa alle 3 ottenibili con 2 cerchi (incremento 300%) e da queste 3, aggiungendo un terzo cerchio si passa a 14, con un aumento del 470% e poi da queste 14 si passa §(forse) a 149, con un incremento del 1064%.
Quante configurazioni si possono prevedere nel caso di 5 cerchi, vista la progressione 1 3 14 149 ?
Per avere una percezione visiva, questo è il grafico di crescita...
la curva rossa, costruita sui valori crescenti del numero delle configurazioni al crescere del numero dei cerchi ha un andamento che ricorda le curve esponenziali. Le curve di altri colori , parabola, cubica e potenza di 4 hanno crescite ben diverse.
Il numero di configurazioni con 5 cerchi potrebbe essere sorprendente e ingestibile, a meno che l'esplosione combinatoria del numero di casi "distinti" non venga fortemente ridimensionata dalla crescita dei casi di duplicazione. Ma anche in questo caso immagino che ci sarebbe comunque una forte accelerazione della ripidità della curva.
Una cosa è comunque certa.... Le 149 (presunte) combinazioni del caso con 4 cerchi generano automaticamente 149 casi di "affiancamento" + 149 casi di "circondamento" e questo valore di 298 nuove configurazioni di 5 cerchi è destinato comunque ad aumentare per un numero almeno equivalente di configurazioni che nascono per gli "inserimenti". Quindi siamo già a circa 600 configurazioni a cui vanno aggiunte quelle generate dalla intersezione del nuovo cerchio con gli altri.
Se poi pensiamo che la crescita progressiva delle configurazioni passando da 4 a 5 cerchi ha un salto da 14 a 149 (una moltiplicazione per 10) , anche ammettendo di mantenere lo stesso ritmo, passeremmo da 150 casi a 1.500 casi.
Mi rifiuto di pensare che si possa disegnare una mappa-catalogo in questa circostanze.
La cosa interessante sarebbe, invece, trovare l'espressione della funzione che dà il numero di configurazioni senza fare riferimento alle combinazioni precedenti.
vedo che per qualche motivo nel commento precedente non è stata caricata l'immagina dei 28 inserimenti.
Eccola:
caro Mau,
il tuo lavoro è stato nobilissimo ed estremamente apprezzabile. Posso solo dirti che il tuo 149 non si discosta molto dalla realtà. Vi sono, infatti, 173 configurazioni! Bravissimo!!!
Concordo con te che il passaggio a 5 diventerebbe mostruoso. Anzi, ben più mostruoso di quanto tu pensi... non 1500 ma ben 16951.
Per 6 non è stato mai trovato il numero e sembra proprio che non esista un algoritmo capace di prevedere le configurazioni.
Praticamente, questa è la seconda parte della risposta. Preferisco, però, scrivere poche righe ancora, insieme alle 173 configurazioni dei 4 cerchi. In tal modo potresti controllare quelle che ti sono sfuggite. Se vuoi scrivere anche tu qualcosa a riguardo, cercando magari di riassumere i tuoi tentativi, sei ovviamente libero di farlo. Il tuo splendido lavoro merita qualcosa di più che dei semplici commenti
Ben tornato tra noi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Caro Enzo, propongo di proseguire con i sei cerchi.
Caro Enzo, non vedo l'ora di leggere le descrizioni delle "caratteristiche salienti" di ciascuna delle 42! configurazioni...
(il punto esclamativo sta per "fattoriale" )
Ciao ! ( questo punto esclamativo non sta per fattoriale ).
Grazie Enzo, in effetti avevo il sospetto che dopo una crescita di un ordine di grandezza c'era da aspettarsi una crescita di due ordini di grandezza, quindi da 150 a 15.000 e sarebbe stata comunque una sottostima rispetto alle quasi 17.000 configurazioni.
Il valore di 149 che ho fornito alla fine è meno vicino al vero di quello che avevo valutato come limite massimo (189) nel mio primissimo commento, in base ad una valutazione sommaria che dovrei avere ancora su un foglio sepolto da qualche parte sotto al cerchiume prodotto in queste ore.
Ma sai come vanno le cose, uno si lascia prendere la mano dai sospetti di duplicazione ... e taglia.
Sarà una liberazione per me poter vedere in faccia le 173 configurazioni e riconoscere quelle che ho ingiustamente condannate all'oblio per scusarmi con loro.
Grazie soprattutto per tutti quei fattoriali che hai messo alla fine del tuo commento.
p.s. Ma di Oreste ... che ne facciamo ?
Confesso che non ho nemmeno provato a risolvere il quiz, né sono riuscita a seguire il turbinìo di palle rotanti messe in campo da quel brav'uomo di Oreste e da quello scriteriato del Bernardi.
Però, incuriosita dalla ricerca dell'algoritmo per dipanare cotanto palleggio, ho provato a proporre il quiz a "Sua Maestà" ChatGPT (elaboratore di testi basato su intelligenza artificiale e machine learning).
Per iniziare ho posto la domanda sulle configurazioni dei tre cerchi, usando le stesse parole del quiz.
Risultato: risposta sbagliata
Ho ripetuto la domanda ponendo l'accento sulla possibilità che i cerchi possano essere anche di dimensioni diverse.
Risultato: risposta sbagliata
Ho infierito chiedendo lumi sulle configurazioni possibili di quattro cerchi.
Risultato: Sua Maestà ha sparato una risposta ma poi si è resa conto di avere sbagliato ed è arrossita dalla vergogna
Ho cliccato sul tasto verde: la risposta cambia.
Da buon parac***o, il nostro generatore di testo artificialmente intelligente che ha capito di non sapere rispondere, chiude il discorso in modo molto diplomatico e tecnicamente corretto:
Morale:
Come Volevasi Dimostrare! Ci stanno propinando l'IA come un toccasana per tutto. Ormai per qualsiasi problema la si tira in ballo, in modo molto simile al GW. Ci vogliono convincere che l'intelligenza umana può anche essere mesa riposo, dato che c'è quella artificiale. Le previsioni del tempo sono una bella e utile cosa, ma la climatologia è un'altra cosa. L'IA è una bella e utile cosa, ma l'intelligenza umana è un'altra cosa. Chissà per quanto, però...
Ho chiesto a Oreste se dovevo ringraziare del "bentornato" anche da parte sua e ha fatto segno di sí con latesta. (Lo avevo legato e imbavagliato mentre dormiva).
Quando ero piccolo, si usava commentare le risposte insoddisfacenti dei calcolatori con l'espressione GIGO ( Garbage In Garbage Out) ossia se fornisci dati imprecisi avrai risultati sbagliati.
Oggi anche domande precise ottengono risposte sbagliate.
Ovviamente il motivo sta nel fatto che il contesto non è abbastanza circoscritto ma copre ambiti troppo vasti e ricchi di ambiguità.
Nonostante l'intelligenza artificiale e il linguaggio naturale non ci sono molti progressi rispetto ai tempi in cui si dialogava con quelle brutte bestie mediante linguaggi artificiali, usando l'intelligenza naturale.
Tornando seri per un attimo...
per riflettere sull'importanza che l'intelligenza umana governi (nel modo "giusto") quella artificiale, consiglio la lettura di questo breve articolo e del libro in esso citato
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/il-sonno-della-matematica-genera-mostri/
Grazie Dany!
Un semplice commento le nuove tecnologie non sono "colpa" della matematica, ma dell'uso che se fa. In qualche modo siamo sempre di fronte agli ordigni nucleari: la fissione è una immensa conquista fisica, ma il suo utilizzo può essere il più tragico e meschino... E così sarà per quella che "furbescamente" viene chiamata Intelligenza Artificiale, sperando di ingannarci sul fatto che sia completamente oggettiva, mentre rispecchia solo le peculiarità di chi l'ha formulata.
Esatto! Infatti non è la matematica a generare mostri, ma il suo “sonno” ovvero il cattivo uso che se ne fa.