Vogliamo calcolare il momento d'inerzia di un cilindro pieno omogeneo di altezza h, attorno all'asse perpendicolare alle basi circolari (Fig. 1),

Abbiamo già a nostra disposizione il momento d'inerzia del disco omogeneo.

I = 1/2 M R²

Cosa dobbiamo fare? Il nostro cilindro "pieno" è formato da tanti dischi di altezza dz e densità ρ. La densità è data da

ρ = dm/(π R² dz)

dm = ρ π R² dz

Il momento d'inerzia di questo disco sottile di massa dm è data da:

dI =  1/2 ρ π R² dz R² = 1/2 ρ π R⁴ dz 

Notiamo che R è costante e, quindi, ogni dischetto di altezza dz ha lo stesso momento d'inerzia. Dobbiamo perciò integrare questo momento d'inerzia su tutta l'altezza del cilindro, tra 0 e h:

I = ∫₀^h1/2 ρ π R⁴ dz = 1/2 ρ π R⁴ ∫₀^hdz = 1/2 ρ π R⁴ h

Sappiamo che

ρ = M/ (π R² h)

sostituendo

I = (1/2) M π R⁴ h/(π R²h)

I = 1/2 MR²

Non ci dobbiamo certo stupire che il risultato sia identico a quello del dischetto sottile. Ciò che cambia è solo la massa, ossia  il dischetto presenta sempre la stessa formula, qualsiasi sia l'altezza del cilindro.

Procedimento analogo per il cilindro cavo sottile

Sappiamo già quanto vale il momento d'inerzia di un anello sottile e non ci resta che integrare su tutta l'altezza h

dI = dm R²

La densità è quella superficiale, ossia quella di un cilindretto sottile di altezza dz

ρ = dm/(2πR dz)

dm = ρ 2πR dz

dI = ρ 2πR dz R²

I = ρ 2πR³∫_o^hdz = ρ 2πR³ h                .... (1)

ρ = M/2πRh

I = M 2πR³ h/2πR h

I = MR²

Come prima, nessuna sorpresa per l'uguaglianza con il momento d'inerzia dell'anello sottile, dato che il cilindro cavo non è altro che la somma di tanti anelli sottili con lo stesso momento d'inerzia.

Entrambi i risultati possono essere ricavati come condizioni particolari del momento d'inerzia di un cilindro parzialmente cavo, ossia delimitato da un cilindro vuoto di raggio R1 e uno pieno di raggio R2 (Fig. 2)

Possiamo agire considerando come acquisito l'integrale relativo all'anello sottile di spessore dx (1) esteso da 0 ad h (altezza del cilindro)

dI = ρ 2πh x³ dx

Questa volta, dopo aver già integrato su tutta l'altezza del cilindro dobbiamo ancora far variare x tra R1 e R2.

I = ρ 2πh ∫_R1^R2 x³ dx = ρ 2πh (R2⁴- R1⁴)/4

quanto vale la densità? presto detto:

ρ = M/(π(R2² - R1²)h)

dove il denominatore è il volume dell'intero cilindro cavo. Possiamo scrivere, ricordando che (a² - b²)= (a +b)(a - b):

I = (M/2)πh (R2⁴ - R1⁴)/(π(R2² - R1²)h) = (M/2)(R2⁴ - R1⁴)/(R2² - R1²) = (M/2)(R2² + R1²)(R2² - R1²)/(R2² - R1²)

I = 1/2 M(R2² + R1²)

A questo punto, se poniamo R1 = 0 abbiamo il cilindro pieno, mentre se poniamo R2 = R1 = R abbiamo il cilindro cavo. Infatti:

I = 1/2 M(R2² + 0) = 1/2 M(R2)² = 1/2 MR²                 cilindro pieno

I = 1/2 M(R1² + R1²) = M R²                                                        cilindro cavo

Lo ammetto... non era necessario fare tutti questi conti, dato che bastava un po' di ragionamento per passare da un momento d'inerzia ad un altro, ma ho preferito ripetere la descrizione per ogni caso in modo da prendere dimestichezza con l'operazione di integrale.