(QI) Al diabolico non c'è mai limite *****
Domani mia figlia ed io partiamo per Pompei ed Ercolano, con l'idea di immergerci per tre giorni nella vita di Roma antica. In questo periodo ho grossi dubbi sul miglioramento della vita attuale rispetto a quella di duemila anni fa. Basti pensare alle Terme, al gusto del bello ovunque e dovunque, alle "domus" che i Liberti (schiavi liberati) riuscivano a possedere grazie alla possibilità di entrare nella vita sociale, agli acquedotti e alle fogne presenti quasi ovunque (nella frazione in cui abito io OGGI abbiamo ancora le fogne a cielo aperto...), al Diritto romano ed ecco che mi viene difficile credere che ci sia stato un grande miglioramento.
Va beh... sapete come la penso e andiamo avanti.
Potevo lasciare i pochi (ma buoni!) grandi solutori dei quiz a bocca asciutta per una settimana? No, non potevo, ed ecco, allora, un quiz geometrico veramente diabolico. D'altra parte, saranno pure pochi ma sono i soli a farsi sentire anche quando i problemi proposti sono decisamente più semplici e risolvibili da un numero sicuramente più grande di lettori. Meritano, perciò, un trattamento di favore!
Stringete le cinture e state bene attenti al quiz "olimpico" che vado a presentare...
(1) Sia ABC un triangolo scaleno e sia α la circonferenza in cui è inscritto.
(2) Da B e da C tracciamo le tangenti alla circonferenza che si incontrano nel punto P
(3) Uniamo A con P e chiamiamo K il punto in cui AP incontra il lato BC
(4) M sia il punto di mezzo del lato BC
(5) Sia X un punto del lato AC tale che AB sia tangente alla circonferenza circoscritta al triangolo BXC
(6) Il segmento AM incontra il segmento BX nel punto T
(7) Da C tracciamo la parallela ad AM che incontra il prolungamento di TK in V
Si chiede:
Dimostrare che AV è tangente alla circonferenza α
Disegno la figura che illustra questa "semplice" presentazione e vi auguro Buona Fortuna!
12 commenti
Caro Enzo, come è ormai consuetudine pluriennale, il mese di ottobre lo trascorro completamente in Romania.
In questi giorni mi trovo in Transilvania, ospite del conte Dracula, con il quale Oreste ha un rapporto di grande amicizia.
Ieri notte, mentre si levavano alla luna gli ululati dei lupi e il vento fischiava tra le fessure del castello, abbiamo proposto il quiz al Conte, conoscendo la sua passione per i problemi diabolici.
Si è fatto un mezzo sorriso vedendo la figura poi, rivolgendosi ad Oreste ha detto:
“ Penso che sia fondamentale determinare con cura il punto X , descritto nella frase al numero 5, durante la costruzione della figura.
Basta tracciare la tangente in A al cerchio circoscritto ad ABC e poi far passare la sua parallela per B.
Alla intersezione di questa parallela con il lato AC trovi proprio il punto X”
Non ha voluto aggiungere altro.
Questa mattina è andato a dormire nella sua bara. Magari stanotte farà altri commenti, chissà.
Io non mi ci metto neppure…
Questa sera, a tavola con il Conte abbiamo ripreso l’argomento del quiz diabolico. Oreste gli ha detto “Dai, Vlad, spiegaci meglio per quale motivo il punto X si trova in quel modo…”
“Ebbene, voglio farvi notare che l’angolo “a” tra il lato AB e la tangente in A al cerchio rosso è il medesimo angolo che si forma tra il prolungamento del lato AB e la tangente in B. Potete trarne certo la conclusione che l’angolo tra il lato AB e il segmento tangente BP vale 180° - a.
Dato che il prolungamento del lato AB deve coincidere con la tangente al cerchio blu (passante per i punti B X e C) allora l’angolo tra tale prolungamento e BX dovrà essere parimenti di 180 – a. E così infatti appare in questa figura, con l’inevitabile conseguenza che BX è parallelo alla tangente in A al cerchio rosso.”
Meditando su queste parole abbiamo proseguito la cena a base di bistecche di cervo, accompagnate da generose quantità di Fetească Neagră del 2006. Poi ci siamo ritirati per la notte mentre il Conte è uscito per una passeggiata notturna nella foresta.
Mentre il fuoco del camino tenta di riscaldare la grande sala della musica, il Conte Dracula sta suonando per noi un antico canto folcloristico transilvano, una melodia molto introspettiva per violino solista. Quando conclude il brano lo gratifichiamo di un meritato applauso.
“Bene, adesso, se volete, possiamo proseguire a ragionare sul quiz diabolico”
“Ottima idea” risponde subito Oreste, che non sta nella pelle.
“Allora, come dicevamo ieri, il punto X è veramente il punto critico. Osservate questa figura:
I vertici del triangolo ABC e le relative tangenti al cerchio circoscritto sono assegnati.
I punti P e K sono univocamente individuati. Altrettanto vale per il punto medio M di BC, per il segmento AM e per il punto V, intersezione della parallela ad AM, passante per il punto C, con tan A.
Anche il segmento KV è determinato e risulta determinata anche la sua intersezione T con il segmento AM.
Collegando B con T e prolungando sino ad incontrare AC troviamo X. Prolungando fino a VC troviamo Z.
Nei precedenti commenti abbiamo visto che il segmento BX è parallelo, per costruzione, a tan A.
Se così non fosse i punti T X Z e V sarebbero sulle linee di colore rosso e le intersezioni di CV e KV su tanA non coinciderebbero.
Osserviamo anche che BM = MC e di conseguenza BT = TZ = AV; il che equivale a dire che, oltre ad essere paralleli, BT e AV hanno la stessa lunghezza.
Allora anche BA e KV sono paralleli e il prolungamento di KT passa per il punto V.
Riassumendo: nella costruzione il punto X è scelto lungo il lato AC in modo che il lato AB sia tangente al cerchio passante per BXC. Questo implica che BX sia parallelo a tan A.
In tal caso il prolungamento di KT sarà parallelo a BA e passerà per il punto V sulla retta tan A.
Possiamo quindi affermare che AV è tangente alla circonferenza α"
Cerco di intervenire per dire la mia, ma Oreste mi precede con il suo commento:
“Caro Vlad credo che il Prof. non sarà molto contento della spiegazione… Sì, insomma non è per niente formale, anche se, intuitivamente…”
Il nostro ospite non fa una piega. Smuove i ciocchi di legna con l’attizzatoio per ravvivare la fiamma, ridacchiando.
“Caro Oreste, sono certo che qualche lettore del blog potrà trarre spunto da queste osservazioni per organizzare una bella dimostrazione. Qui in Transilvania siamo gente semplice, e più di tanto… Del resto: a problema diabolico, soluzione diabolica. Vi andrebbe una partita a biliardo, prima di andare a dormire?”
In sintesi il Conte dice:
Affinché il segmento AV sia tangente al cerchio alfa nel punto A, si devono verificare due condizioni. Esse sono che il segmento BT sia parallelo alla tangente nel punto A e, contemporaneamente, il prolungamento del segmento KT sia parallelo al lato BA.
Questo si verifica esattamente quando il punto X è posizionato sul lato AC in modo che il lato AB risulti tangente alla circonferenza circoscritta al triangolo BXC, proprio come richiesto dalla regola costruttiva numero 5.
Questo pomeriggio ci ha invitato ad una escursione a cavallo, nei dintorni del castello. Lungo il tragitto parleremo del quiz sugli anelli cinesi, a cui pare molto interessato. Oreste mi ha riferito che Vlad si è già costruito da sé un esemplare del giochino, interamente in Rodio (Rh). Un lavoretto non da poco, visto che il punto di fusione del Rodio è quasi di 2.000°C.
Magari mandiamo una foto ad Alberto perché ci possa confermare la genuinità del metallo.
Attento intanto di non farti mordere sul collo dal conte von Krolock
Tranquillo, quando andiamo a dormire mettiamo questo accessorio:
ne abbiamo abbiamo di diversi tipi e colori, uno ha le punte in or.... in ottone.
caro Mau,
sono appena tornato e ho velocemente letto le "farneticazioni" del caro Oreste e del nobilissimo conte. Ancora una volta temo che la facciano troppo semplice. Pensa che ho intenzione di dividere la soluzione in almeno due parti, data la lunghezza ... Al limite, dopo la prima parte, riaprirò la possibilità di continuare con un po' di aiuto.
Mi ci vorrà qualche giorno per scrivere e fare figure, per cui Oreste e il caro Dracula potrebbero tentare di rimettersi al lavoro, ma in modo geometricamente corretto e con prove chiare e ben descritte, senza apporto troppo generoso si alcool...
Caro Enzo, bentornato tra noi.
Oreste e il Conte al momento sono impegnati in una battuta di caccia col falcone sul monte Moldoveanu, il più alto della Romania nelle alpi transilvaniche dei Carpazi.
Appena rientreranno li metterò al corrente dei tuoi commenti.
Chissà, magari tirano fuori qualcosa di più ortodosso.
Lemma caso particolare teorema di Brianchon sui quadrilateri circoscritti.
Lemma caso particolare teorema di Ceva.
i link delle 4 figure con testo associato (a volte si vedono a volte no. Non so il perché)
https://i.ibb.co/LxDyzv6/diabolimpico-1.png
https://i.ibb.co/3s8W9Rf/diabolimpico-2.png
https://i.ibb.co/x53cVgf/corollario-brianchon.png
https://i.ibb.co/vJPsBvY/corollario-ceva.png