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Giustamente Andy costruisce dei triangoli tali da permettergli di scrivere l'equazione in modo diverso e ricondurla alla definizione di sezione aurea. Tuttavia, era forse ancora più semplice considerare direttamente il triangolo aureo, ossia il triangolo isoscele che vede proprio il rapporto aureo tra i suoi lati. In particolare, il rapporto tra a e b (a > b) e uguale a rapporto tra (a+b) e a, e vale circa 1.618. La figura che segue lo riporta, ricordando che che gli angoli alla base sono di 72 ° e quello opposto alla base è di 36°.

Basta allora tracciare da A la bisettrice e ottenere nuovamente il nuovo triangolo aureo ADB. Inoltre, per costruzione, AB = AD e AD = DC. Chiamiamo AB = 1 e AC = x.

I passaggi sono, perciò, veramente semplici...

I triangoli ADB e ABC sono simili (tre angoli uguali). Per cui:

BD/AB = AB/AC

BD = 1/x

CD = CB – DB

CD = x – 1/x                              ... (1a)

Sappiamo, però, anche che:

CD = 1                                        .... (1b)

Tracciando da D la parallela ad AC, otteniamo un nuovo triangolo aureo EDB, simile ovviamente ad ADB, che impone:

AE = ED = BD =1/x

da cui:

EB = AB – AE = 1 - 1/x                      .... (2a)

Per la similitudine si ha, però, anche:

EB/BD = BD/AB

EB = BD² = (1/x)²                            .... (2b)

A questo punto, possiamo facilmente trasformare l'equazione di partenza in modo decisamente più semplice...

√(1 - 1/x) + √(x - 1/x) = x                        .... (3)

La prima radice è uguale a 1/x, per la (2a) e (2b)

La seconda radice è uguale a 1, per la (1a) e (1b)

La (3) diventa, semplicemente:

1/x + 1 = x

x² – x – 1 = 0

x = (1 + √5)/2