Ci siamo costruiti un sistema di riferimento semplice e utilissimo. Vedremo subito come utilizzarlo. Prima inseriremo nuove stazioni un po’ dappertutto e, chiamandole con le loro coordinate, sapremo trovarle immediatamente. Poi inizieremo a costruire monorotaie sempre più complicate. La matematica diventerà l’unico linguaggio in grado di aiutarci nella loro “sistemazione” nella rete ferroviaria, ossia nel piano del foglio.

Tutte le stazioni che vogliamo

Il sistema di coordinate cartesiane che abbiamo costruito nell’articolo precedente è veramente qualcosa di straordinario. Attraverso un punto e due linee rette siamo capaci di identificare qualsiasi nuova stazione si voglia costruire nella pianura o nel deserto o -meglio ancora- nel piano del foglio. Ci permette anche  di utilizzare il numero zero e di avvicinarci ai punti all’infinito che non possiamo disegnare, ma che sappiamo identificare abbastanza bene. Niente di ciò che esiste all’interno del Sistema Cartesiano rimane indeterminato e privo di nome. Tutto può essere identificato immediatamente attraverso un nome e cognome matematico. Il nome e il cognome non sono altro che le coordinate cartesiane, ossia l’ascissa x e l’ordinata y.

Abbiamo già ammesso che si può disegnare il punto origine e anche la retta orizzontale e verticale. Possiamo, perciò, anche assumere che l’intero piano del foglio sia composto da infiniti punti senza dimensioni. E non ci sorprenderemo più di poterli disegnare con la matita. Conosciamo ormai bene i limiti di questo procedimento e sappiamo che non comporta problemi né concettuali né pratici. Cosa fanno allora le coordinate cartesiane? Qualsiasi coppia ci possiamo inventare, immediatamente essa identifica un punto del piano, un punto che ha come ascissa il primo numero e come ordinata il secondo, ossia la scrittura P(x,y) è una perfetta carta d’identità del punto P, in quanto x identifica l’ascissa e y l’ordinata.

Come facciamo a trovare il punto P in mezzo agli infiniti punti del piano? Facilissimo. Lungo l’asse delle ascisse ci muoviamo fino a trovare il segnale che indica x chilometri (o qualsiasi cosa vogliate: sono chilometri solo perché stiamo lavorando con linee ferroviarie). Possiamo tranquillamente “tagliare” l’asse delle ascisse con una retta verticale. Questa retta ha una caratteristica fondamentale: tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa, così come ogni punto dell’asse y ha ascissa x = 0 (questa era la risposta alla domanda dell'articolo precedente, ovviamente...). Se la nuova stazione P ha ascissa x = 5, dovremo allora disegnare la retta parallela all’asse y che passa per il punto 5 dell’asse delle x. La nostra stazione deve trovarsi sicuramente su questa retta, dato che essa è l’unica che ha i punti con ascissa uguale a 5.

A questo punto, non resta che leggere la seconda coordinata, la y. Poniamo che essa sia 3. L’operazione da fare è simile a quella di prima. Ci muoviamo fino al segnale corrispondente all’ordinata indicata da y, ossia 3, e tracciamo una parallela all’asse delle x. Questa parallela sarà il luogo di tutti i possibili punti che hanno ordinata y = 3.

Ricapitoliamo brevemente: abbiamo identificato un punto P attraverso le sue due coordinate e l’abbiamo scritto P(5,3), dove x = 5 e y = 3. Ci siamo spostati sull’asse x fino al “segnale” 5. Da quel punto abbiamo tracciato la parallela all’asse y. Poi siamo andati su quest’ultimo fino al punto 3 e abbiamo tracciato la parallela all’asse x. Il punto cercato è proprio l’intersezione di queste due rette. La procedura è descritta nella Fig.11.

E’ come se avessimo costruito due linee ferroviarie “provvisorie”, parallele a quelle fondamentali dei due assi, in modo da arrivare nel loro punto d’intersezione. Proprio lì si può costruire la nuova stazione. Possiamo annullare tranquillamente le due linee “provvisorie”, dato che non ci servono più o -se vogliamo- possiamo mantenerne una piccola parte, quella che va dall’asse x al punto P e quella analoga che va dal punto P all’asse y. Perché? Beh, tanto per mostrare graficamente l’ordinata y (la prima) e l’ascissa x (la seconda) del punto P, senza bisogno di scriverle vicino al punto. Questa ultima rappresentazione ci regala un metodo più rapido per identificare qualsiasi punto P(x₀,y₀) del piano cartesiano. Ci muoviamo sull’asse x fino al valore x₀. Poi ci alziamo con una linea parallela all’asse y di una quantità pari a y₀ e arriviamo esattamente in P. Ovviamente, potevamo anche partire da y₀ e poi spostarci sulla parallela a x fino a x₀. Saremmo comunque arrivati in P (Fig. 12).

Avrete sicuramente notato che ho sempre parlato di coordinate positive. E’ stata una scelta del tutto arbitraria. Potevo usare tranquillamente coordinate negative o una positiva e una negativa. Infatti, come si nota immediatamente, il piano cartesiano è diviso in quattro parti dai due assi x e y e dal verso che gli abbiamo dato. La prima parte, quella a destra e in alto contiene tutti i punti che hanno sia la x che la y positiva. La parte a sinistra in alto ha l’ascissa negativa e l’ordinata positiva. Quella in basso a sinistra ha sia la x che la y negative. L’ultima, in basso a destra, contiene i punti con x positiva e y negativa.

Vogliamo fare qualche prova?

Disegniamo la stazione che corrisponde al punto R(3,-7). Ci spostiamo verso destra sull’asse x fino al segnale 3. Poi scendiamo verso il basso fino ad arrivare a -7. Possiamo ruotare un poco la matita e segnare il punto R. Potevamo anche scendere subito di -7 sull’asse y e poi spostarci a destra di +3. Saremmo giunti comunque in R.

Forza, fate qualche esercizio da soli… S(4,4), T(-2,-8), U(-4,6), V(0,3), Z(-4,0)

La Fig. 13 mostra il risultato. Nessun problema, vero? Nemmeno con V e Z? Spero proprio di sì. In fondo, sappiamo che possiamo trattare lo zero come gli altri numeri. Consideriamo V, Cosa vuol dire spostarsi di 0 sull’asse  x . Nient’altro che muoversi sull’asse delle y fino ad arrivare a 3. Quello è il punto V, ossia è un punto che appartiene all’asse delle ordinate. D’altra parte, l’asse delle y è proprio definito come l’asse i cui punti hanno tutti ascissa uguale zero, come quella dell’origine. E il punto Z? La stessa cosa. Mi muovo in verso negativo sull’asse x fino a -4. Poi mio fermo e ho finito. D’altra parte i punti dell’asse x sono quelli che hanno ordinata uguale a 0. Ovviamente, non ce ne sarebbe bisogno, ma lo ripetiamo nuovamente:  il punto origine O ha coordinate  x = 0 e y = 0, dato che appartiene sia all’asse delle x che all’asse delle y. E’ o non è la stazione centrale?

Uniamo due stazioni

Immaginiamo, adesso, di avere costruito due stazioni di nome P₁ e P₂. Anzi, impariamo a chiamarle sempre con il loro nome completo: P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂). Potevo utilizzare dei numeri “veri”, come 3, 5, -3, 8, ecc. Ho preferito inserire dei numeri generici per esercitarci fin da subito con le espressioni letterali. Non devono, comunque, spaventarci. Scrivere 5 o x₁ o y₁ è la stessa identica cosa: si ha sempre a che fare solo con numeri reali ben definiti. In altre parole scrivere P(5,3) o scrivere P(x₁,y₁) vuol sempre dire definire uno e un solo punto nel sistema di coordinate cartesiane.

Quando invece useremo solo x (o y) tratteremo con un numero che può assumere qualsiasi valore gli si voglia dare. Possiamo definirlo come un numero variabile. Ripeto: la scrittura P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂), … si riferisce a punti ben precisi, P(x,y) si riferisce invece a un punto variabile. La x è quindi intesa come una variabile che può assumere tutti i valori che vogliamo, e analogamente la y. L’ho fatta lunga, eh? Ma, bisogna fare attenzione a non confondere una variabile con un numero ben definito, soprattutto quando si ha a che fare con espressioni letterali. Ce ne accorgeremo presto.

Torniamo ai nostri due punti fissi P₁ e P₂ e disegniamoli nella Fig.14. Essi rappresentano due nuove stazioni. La prima ha coordinate x₁ e y₁, la seconda x₂ e y₂. Due stazioni, però, non servono a niente se non si costruisce una linea ferroviaria che le congiunge. Dato che siamo in un deserto, non vi sono problemi a tracciare una monorotaia rettilinea. Essa è quella di minima distanza. Su questo siamo tutti d’accordo. Talmente d’accordo che possiamo dire che la distanza d tra le due stazioni è proprio il tratto di retta (si chiama segmento) che unisce P₁ e P₂. In parole povere, la distanza tra le due stazioni (in chilometri, ad esempio, o in quello che vogliamo) è data proprio dalla misura di quel segmento. Riusciamo a determinarla con quanto conosciamo finora? Si, proprio grazie alla perfezione del sistema cartesiano che abbiamo costruito.

Cosa ci dicono le coordinate del punto P₁? Che la sua distanza dall’asse delle y, ossia x₁, è nota, così come è nota la distanza dall’asse x, ossia y₁. Abbiamo costruito il punto P₁ proprio in questo modo! Analogamente conosciamo le distanze x₂ e y₂ del punto P₂ dagli assi cartesiani. Inseriamo queste conoscenze nella Fig. 14. Un breve e ovvio riassunto: la distanza dall’origine O di tutti i punti che stanno sull’asse x è data dalla loro ascissa, mentre le distanza dei punti dell’asse y dall’origine è data dalla loro ordinata. Più complicata è invece la determinazione della distanza tra due punti qualsiasi P₁ e P₂, ossia il segmento rettilineo che li unisce.

A questo punto soffermiamoci sul triangolo P₁P₂H. Esso è un triangolo rettangolo per costruzione. Possiamo calcolare facilmente le lunghezze dei suoi cateti P₂H e P₁H. Esse non sono altro che le differenze tra x₂ e x₁ e tra y₂ e y₁. E’, infatti, ovvio che l’ascissa di H è la stessa di P₂, mentre la sua ordinata  è quella di P₁. Ossia H(x₂,y₁). Problemi? Direi di no, dato che sappiamo che la retta che passa da P₂ e H è parallela all’asse y e che quella che passa da P₁ e H e parallela all’asse x.

Possiamo, quindi, scrivere:

P1H = x₂ – x₁                      

P2H = y₂ – y₁       …. (1)

Del triangolo P₁P₂H conosciamo perfettamente la misura dei due cateti. Come facciamo a trovare la misura dell’ipotenusa P₁P₂? Beh… devo ammettere che questo tutti dovrebbero saperlo: basta applicare il teorema di Pitagora che dice: “La somma delle aree dei  quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa”. Geometricamente viene illustrato dalla Fig.  15(a). Vorreste anche che ve lo dimostrassi…? Ve bene, va bene. Pensate che ci sono più di 300 metodi per riuscire in questa impresa. Io ne userò uno puramente geometrico che mi piace parecchio. Ha poco a che vedere con la "nostra" matematica, ma consideratelo come un diversivo fine a se stesso. Tanti non lo sanno e farete, comunque, una bella figura!

I quadrati di Pitagora

Cominciamo da capo… In Fig. 15(a) consideriamo il nostro bel triangolo rettangolo ABC, con l’angolo retto in A. I cateti sono, quindi, AB e AC, mentre l’ipotenusa è BC. Costruiamo, proprio come dice Pitagora, i quadrati rossi sui tre lati. Il grande matematico greco assicura che l’area del quadrato più grande è esattamente uguale alla somma delle aree degli altri due. Come facciamo a dimostrare che questa frase è giusta. Dobbiamo verificare in qualche modo che il quadrato dell’ipotenusa è effettivamente scomponibile nei due quadrati dei cateti. Eseguiamo, allora, qualche gioco di prestigio. Innanzitutto, riproduciamo tre volte il triangolo di partenza (che indichiamo con 1) e trasportiamo le sue copie 2, 3 e 4 nelle posizioni indicate dalla Fig. 15(b).

Che bella figura! E’ formata da quattro triangoli uguali e da un quadrato giallo Q al loro interno. L’importante è, però, che essa non è altro che il quadrato che ha per lato l’ipotenusa del triangolo originario. I suoi lati, infatti, sono tutti uguali (e uguali all’ipotenusa) e gli angoli sono tutti retti. Adesso, dobbiamo cercare di deformare questa figura in qualcosa di diverso, mantenendo, però, sempre la stessa area. Eseguiamo, allora, i movimenti illustrati nella Fig 15(c). Il triangolo 1 si va ad adagiare vicino a 4 e il 2 vicino al 3. E’ bastato fargli fare una rotazione. Un salto mortale e niente di più. Il quadrato Q resta invece dov’è.

Ciò che otteniamo è qualcosa di più irregolare, ma, comunque, la figura complessiva ha l’area di quella precedente, dato che è formata dagli stessi identici “pezzi” (i quattro triangoli verdi e il quadrato giallo). Non vi è più bisogno di spostare niente. Basta soltanto tracciare delle linee rosse che dividono questa figura in due quadrati, come mostrato in Fig. 15(d). La somma delle aree dei due quadrati rimane ancora la stessa area della figura totale. Ma… cosa rappresentano i due quadrati con i lati rossi? Quello più grande non è altro che il quadrato che ha come lato il cateto maggiore del triangolo di partenza. Quello più piccolo è esattamente il quadrato che ha per lato il cateto minore. In altre parole, possiamo dire che l’area della figura di Fig. 15(c) ha la stessa area della somma dei due quadrati costruiti sui cateti. Ma l’area della Fig. 15(c) è anche uguale all’area del quadrato grande di Fig. 15(b), che altri non è che il quadrato costruito sull’ipotenusa. Insomma, abbiamo proprio dimostrato che la somma delle aree costruite sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Il teorema è dimostrato! Bello eh?

Non ci resta ora che ricordare come si calcola l’area di un quadrato A_Q di lato l. Beh… questo è davvero semplice: lato moltiplicato se stesso, ossia lato al quadrato:

A_Q = l ∙ l =  l²

Scriviamo il teorema di Pitagora applicato al triangolo P₁P₂H

P₁P₂² = P₁H² + P₂H²    ….  (2)

Ossia l’area del quadrato che ha per lato P₁P₂ è uguale alla somma delle aree dei quadrati che hanno per lati P₁H e P₂H.

P₁P₂ è, però, proprio la distanza d tra le due stazioni P₁ e P₂, mentre P₁H e P₂H sono dati dalle relazioni (1). La (2) diventa:

d² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²   …. (3)

e infine (facendo la radice quadrata di entrambi i membri, ma ci torneremo sopra…):

d = [(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]^½    …. (4)

Esprimendo il tutto a parole, possiamo dire che la distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati  delle differenze tra le loro ascisse e tra le loro ordinate.

Usiamo numeri “veri”. Siano P₁(6,2) e P₂(12, 5) i due punti. La distanza tra di loro è data da:

d = [(12-6)² + (5-2)²]^½  = (6² + 3²)^½ = (36 + 9)^½ = 45^½ = 6.71

Cosa siamo riusciti a fare? Una cosa veramente importante. Conoscendo le coordinate di due punti (stazioni) è possibile calcolare la distanza che li separa (misurata, ovviamente,  lungo il percorso più breve, ossia lungo il segmento che li unisce).

Nella Fig. 14 possiamo, adesso, congiungere facilmente P₁(x₁,y₁) con la stazione centrale, O(0,0) e determinare anche questa distanza d₀. Basta usare nuovamente la formula (4), solo che adesso i due punti hanno coordinate P₁(x₁,y₁) e O(0,0).

d₀ = [(x₁ – 0)² + (y₁ – 0)²]^½  = (x₁² + y₁²)^½

A parole, si traduce che la distanza di un punto dall’origine degli assi cartesiani non è altro che la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

Nel caso numerico precedente, si ottiene:

d = (6² + 2²)^½ = (36 + 4)^½ = 40^½ = 6.32

Che potenza!

Ovviamente non posso insegnarvi a fare la radice quadrata di un numero (non me lo ricordo più nemmeno io…), ma, ormai, per certi calcoli, basta un qualsiasi PC o una calcolatrice tascabile. Ricordiamo soltanto che la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato. La radice quadrata di un numero è quel numero che moltiplicato per se stesso (ossia elevato al quadrato) dà come risultato il primo numero. In linguaggio matematico:

se x₁ = (x₂)^½    allora vale la relazione x₂ = x₁² .

Per capire meglio il passaggio da (3) a (4) basta pensare che

(d²)^½ = d   …. (5)

in quanto fare la radice quadrata di un numero al quadrato vuol dire ottenere proprio quel numero (due operazioni inverse si eliminano).

Tanto per ripassare certi passaggi che potranno essere utili in seguito, possiamo risolvere la (5) utilizzando una proprietà delle potenze. Infatti, d è elevato prima all’esponente 2 e poi a quello ½. Ossia rappresenta la potenza di una potenza. La proprietà che usiamo è quella che dice che la potenza di una potenza di un certo numero è uguale a quel numero elevato al prodotto degli esponenti (si usa chiamare base il numero in basso), ossia :

(x^a)^b = x^ab  

Dove a e b sono gli esponenti, mentre x è la base. Nel nostro caso:

(d²)^½ = (d)^{2 ∙ ½} = d

Vedete com’è facile e divertente applicare le regole che ci hanno a volte imposto di imparare a memoria?  Prima o poi vengono sempre utili. Tanto che ci siamo, ricordiamo anche un’altra importante proprietà delle potenze: il prodotto di due potenze di uno stesso numero è uguale al numero elevato alla somma degli esponenti. Ossia:

x^a ∙ x^b = x ^a+b

Va beh… per adesso lasciamola lì e torniamo alle nostre stazioni.

Non solo abbiamo costruito due tronchi ferroviari (da O a P₁ e da P₁ a P₂), ma -soprattutto- abbiamo imparato a calcolarne la lunghezza utilizzando solo le coordinate delle stazioni. Vi pare poco?

 

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