Categorie: Matematica
Tags: formula generale operazione "aliena" quiz scrittura compatta
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:3
Una operazione matematica aliena ****
Un problema molto interessante, inserito come prova per l'ingresso alla facoltà di matematica in Inghilterra. Come spesso capita, la difficoltà non sta tanto nello svolgimento dei passaggi, ma nell'avere la giusta intuizione...
Introduciamo una nuova operazione matematica, usata dagli alieni, che indicheremo con il simbolo §.
Essa è così definita
a § b = a · b + a + b
con a e b numeri interi maggiori di zero.
Calcolare il risultato della seguente operazione:
1 § 2 § ( 3 § (4 § ( 5 § ( ....... § (98 § (99 § 100))))).....))))
Un problema adattissimo all'IA, ma al pensiero umano bastano poche operazioni "normali" per trovare la giusta strada e ottenere una formula generale valida per ogni massimo numero n. E' un po' come se al posto di m + m + m + ... + m, n volte, scriveste m · n.
Fatevi aiutare dall'IA, ma "voglio" sapere il procedimento usato e se è proprio stato "intelligente"...
3 commenti
Caro Enzo,
preferisco affidarmi all'intelligenza umana, anche se in questi ultimi tempi mi sembra che, mediamente, abbia intrapreso un percorso tortuoso orientato verso una dispersione nebulosa sempre più rarefatta...
Ma bando alle ciance, ecco il mio ragionamento bianchettato.
Dato che l’operatore § che lega due termini generici (nel caso specifico due numeri naturali positivi) dà come risultato un prodotto ed una somma dei due termini, operazioni che godono entrambe sia della proprietà associativa che di quella commutativa, vedo se lo stesso vale anche per l’operazione attraverso §.
Scrivo la definizione l’operazione considerando 3 numeri interi a, b, c qualsiasi (il senso di lettura potrebbe essere
a relato b e b relato c):
a § b = a·b + a + b
b § c = b·c + b + c
Testo la proprietà associativa:
a § (b § c) = a·(b·c + b + c) + a + (b·c + b + c) =
a·b·c + a·b + a·c + a + bc + b + c
e ordinando:
a·b·c + a·b + a·c + b·c + a + b + c (1)
(a § b) § c = (a·b + a + b)·c + (a·b + a + b) + c =
= a·b·c + a·c + b·c + a·b + a + b + c
e ordinando:
a·b·c + a·b + a·c + b·c + a + b + c (2)
E’ evidente che la (1) e la (2) si equivalgono.
Es. numerico con numeri interi sequenziali:
1 § 2 = 1·2+1+2 = 5
2 § 3 =2·3+2+3 = 11
1 § (2 § 3) = 1·11+1+11 = 23
(1 § 2) § 3 = 5·3+5+3 = 23
Mentre la proprietà commutativa appare immediata:
a § b = a·b + a + b
b § a = b·a + b + a
Adesso provo a sostituire i valori numerici:
1 § 2 = 1·2+1+2 = 5
(1 § 2) § 3 = 5 § 3 = 5·3+5+3 = 23
(1 § 2 § 3) § 4 = 23 § 4 = 23·4+23+4 = 119
(1 § 2 § 3 § 4) § 5 =119 § 5 = 119·5+119+5 = 719
Riscrivo gli stessi passaggi di prima focalizzando l’attenzione sul primo e sull’ultimo termine, indicando con n il numero degli elementi consecutivi relazionati:
n = 2
1 § 2 = 1·2+1+2 = 5 → 5 = 6 – 1 = 3! – 1
n = 3
5 § 3 = 5·3+5+3 = 23 → 23 = 24 – 1 = 4! – 1
n = 4
23 § 4 = 23·4+23+4 = 119 → 119 = 120 – 1 = 5! – 1
n = 5
119 § 5 = 119·5+119+5 = 719 → 719 = 720 – 1 = 6! – 1
e così via.
Allora se n è il k-esimo termine, indicando con R(k) la relazione § tra i primi k termini interi positivi consecutivi, si può scrivere:
R(k) = (k! – 1) § k = (k! – 1)·k + k! – 1 + k =
= k·k! – k + k! – 1 + k =
= k·k! + k! – 1 =
= k! · (k + 1) – 1 (A)
Ma k! · (k + 1) = (k + 1)!
(infatti se k è uguale per esempio a 27 si ha:
27! × 28 = 28 × 27! = 28×27×26×….×2×1 = 28!)
per cui la (A) diventa:
R(k) = (k+1)! – 1
e per k = n = 100:
R(100) = 1 § 2 § (3 § (4 § …. § 99 § 100)) =
(1 § 2 § 3 § 4 § …. § 99 § 100) = (100+1)! – 1 = 101! – 1
Sei eccezionale!
a § b = a*b + a + b (1)
possiamo riscriverla come
a § b = (a + 1)*(b + 1) -1. (1a)
Più in genrale, supponiamo che
A1 § A2 § … § An-1 = (A1 + 1)* (A2 + 2)* …(An-1 + 1) -1
allora
A1 § A2 § … § An-1 § An = (A1 + 1)* (A2 + 2)* …(An-1 + 1)*(An + 1) -1. (2)
Infatti per definizione, riscritta come in (1a)
(A1 § A2 § … § An-1) § An = (A1 § A2 § … § An-1 +1) * (An + 1) -1
ma, per ipotesi di induzione, (A1 § A2 § … § An-1 +1) = (A1 + 1)* (A2 + 2)* …(An-1 + 1)
quindi vale la (2) per ogni n e pro ogni {A1, A2, …An}.
Applicando questa all’espressione proposta:
2*3…*101 -1 = 101! - 1