Categorie: Fisica classica Matematica
Tags: distanza geometria posizione quiz velocità costante
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
(Q) Velocità costante **/***
La distanza tra un punto O e i punti A e B è di 10 km. Inoltre, AOB è un angolo retto. La nostra macchina si trova in P ed esistono strade rettilinee che uniscono P con A, con B e con O. Inoltre esistono anche strade rettilinee che uniscono O con A e con B.
1) Determinare la velocità costante v a cui deve viaggiare la nostra macchina per compiere il tragitto PO in 30 minuti, quello PBO in 35 minuti e quello PAO in 40 minuti? **
2) Determinare la posizione di P rispetto ad O. ***
4 commenti
Caro Enzo,
probabilmente la mia interpretazione è errata, ma mi sorge un dubbio:
se sono noti, come dati del problema, la lunghezza del tragitto OA = OB = 10 km nonché il suo tempo di percorrenza (30 minuti), ricavare la velocità (costante) risulta immediato.
Non è che i 30 minuti di percorenza si riferiscono al tragitto PO ?
Acci... Andy, hai ragione!!! 30 minuti si riferiscono alla distanza PO.
Grazie mille, già corretto...
Il fatto che le distanze vengano espresse in termini di tempo, non cambia nulla da un punto di vista concettuale, dato che lo spazio rettilineo percorso è, come in questo caso, funzione diretta della velocità e del tempo stesso.
Essendo O equidistante da A e B, con ∠AOB retto, la spezzata AOB è assimilabile ad un “tentativo” di triangolo rettangolo isoscele ma privo dell’ipotenusa, con OA = OB = 10 km.
Se il tragitto P→B→O = 35 min allora la lunghezza del tratto P→B è uguale al percorso (spezzato) da P a O meno il tratto di lunghezza nota B→O:
P→B = P→B→O – B→O = 35·v – 10
dove 35·v è la misura di PB in termini di lunghezza (s = v·t)
Analogo discorso per il tragitto P→A→O:
P→A→O = 40 min ;
P→A = P→A→O – A→O = 40·v – 10
Mentre la lunghezza del tratto PO è un dato del problema:
P→O = 30·v
Praticamente, tutti i tragitti percorsi, formano due triangoli contrapposti che condividono un lato, come schematizzato nella seguente figura geometrica:
con le lunghezze dei tratti incogniti espresse in funzione della velocità (incognita) noti i tempi di percorrenza.
L’angolo AOB retto viene diviso dal segmento PO in due parti; allora posso chiamare θ uno dei due angoli, mentre l’altro sarà la differenza a 90°;
ad esempio se ∠POB = θ allora ∠POA = 90° – θ .
Applicando il teorema del coseno ai triangoli POB e POA, si può scrivere:
(PB)^2 = (BO)^2 + (PO)^2 – 2·(BO)·(PO)·cos(θ) →
(35·v – 10)^2 = 10^2 + (30·v)^2 – 2·(10)·(30·v)·cos(θ) (1)
(PA)^2 = (AO)^2 + (PO)^2 – 2·(AO)·(PO)·cos(90° – θ) →
(40·v – 10)^2 = 10^2 + (30·v)^2 – 2·(10)·(30v)·cos(90° – θ) (2)
Esplicitando la (1) per cos(θ):
cos(θ) = (10^2 + (30·v)^2 – (35·v – 10)^2) / (2·(10)·(30·v))
svolgendo i calcoli e semplificando:
cos(θ) = ( –325·v^2 + 700·v)/(600·v) = (28 – 13·v)/24
Esplicitando la (2) per cos(90° – θ):
cos(90° – θ) = (10^2 + (30·v)^2 – (40·v – 10)^2) / (2·(10)·(30·v))
svolgendo i calcoli e semplificando:
cos(90° – θ) = ( –700·v^2 + 800·v)/(600·v) = (8 – 7·v)/6
Ma dato che cos(90° – θ) = sen(θ) , si può scrivere:
cos(90° – θ) = (8 – 7·v)/6 = sen(θ)
Per una delle identità trigonometriche fondamentali si ha:
(sen θ)^2 + (cos θ)^2 = 1
Allora, sostituendo i valori di sen(θ) e cos(θ) prima ottenuti, si può scrivere:
( (8 – 7·v)/6 )^2 + ( (28 – 13·v)/24 )^2 = 1
svolgendo i calcoli:
(953v^2 – 2520v + 1808) / 576 = 1
moltiplicando tutto per 576, spostando al primo membro il termine noto invertito di segno e semplificando:
953v^2 – 2520v + 1232 = 0
che è un'equazione di 2° grado (con incognita la velocità) il cui delta è positivo:
Δ = √1654016 = 16∙√6461
e ammetterà quindi due soluzioni reali (approssimando alla quinta decimale):
v1 = (1260 – 8√6461)/953 ≈ 0,64738
v2 = (1260 + 8√6461)/953 ≈ 1,9969
Ora, poiché le due velocità sono espresse in km/min. , se si vogliono visualizzare in km/h, bisogna moltiplicare per 60:
v1 ≈ 0,64738×60 ≈ 38,84 km/h
v2 ≈ 1,9969×60 ≈ 119,81 km/h
A questo punto, è possibile ricavare le lunghezze dei tratti PB, PA e PO per due configurazioni di velocità differenti, nonché i tempi parziali di percorrenza, secondo la seguente tabella:
Allora il diagramma che rappresenta le distanze in funzione di v2 diventa:
i complimenti sono ormai inutili... Chissà se riuscirò mai a mettere in difficoltà Andy ?!