E' tanto che non torniamo a visitare Papalla, quel magnifico pianeta del tutto simile alla Terra, ma assolutamente privo di atmosfera. Non chiedetemi il perché o il come, ma i suoi abitanti vivono benissimo e riescono anche a convivere in armonia completa senza minimamente badare al loro colore che può assumere tutte le tonalità della luce visibile. Anzi, si divertono spesso a modificarlo, adattandolo alla situazione: dei veri e propri camaleonti!

Non avendo ossessioni di denaro e di potere riescono ad avere molto tempo per ragionare e per risolvere problemi fisici che li aiutano fin da piccoli a usare la propria testa.

Durante il mio recente viaggio su quel pianeta, dove mi reco spesso per prendere una "boccata d'aria pura", anche se l'aria non esiste, ho assistito a due competizioni di fisica elementare alla portata dei papallicoli più giovani.

Ai papallicoli piace molto costruire dei razzi di piccole dimensioni in grado di viaggiare nello spazio vicino dove l'accelerazione di gravità può essere considerata costante ed uguale a g (come sulla Terra) che è pari a 9.8 m/s². Addirittura si costruiscono razzi a due stadi!

Primo problema

Un razzo a due stadi sta viaggiando in verticale, verso l'alto, con una certa velocità. Non conosciamo la legge con cui vari questa velocità, però sappiamo che quando il razzo di massa m raggiunge l'altezza di 98 metri, essa vale ancora 9.8 m/s. In tale istante si stacca il primo stadio di massa m₁ = 1/3 m. Si chiede: quanto tempo impiega il primo stadio a toccare il suolo?

Secondo problema

Un razzo viene sparato  con una certa velocità sconosciuta v₀ verso l'alto in direzione perfettamente verticale da un trampolino posto al bordo di un dirupo anch'esso perfettamente verticale, alto 200 metri rispetto al mare sottostante. Sappiamo, però, che, quando il razzo raggiungerà un'altezza h di 100 m, la sua velocità sarà la metà di quella che avrà ad un'altezza h più in basso del punto di partenza. Si chiede: qual è la massima altezza raggiunta dal razzo? Ovviamente, il trampolino viene immediatamente tolto, per permettere una caduta esattamente verticale lungo il dirupo.

SOLUZIONI

(a)

Iniziamo con il dire che la velocità iniziale ha poco interesse così come il fatto che il razzo stia accelerando oppure no. Ciò che interessa è solo la velocità  del primo stadio nell'istante in cui si stacca. Essa è, ovviamente, la stessa del razzo, ossia 9.8 m/s. Senza farci confondere dai numeri, basta ragionare un attimo per capire che siamo di fronte a un problema veramente banale: quello di un corpo lanciato verso l'alto con una certa velocità nota. Tuttavia, il corpo viene lanciato da una certa altezza  e noi vogliamo sapere quanto tempo impiega a raggiungere un punto che è 98 metri più in basso.

y =  y₀ + ut + 1/2at²

Possiamo porre  yo = 98 m e considerare zero come valore finale. Oppure (ma è la stessa cosa!) scegliere yo = 0 e porre y = - 98. Otteniamo un'equazione di secondo grado

0 = 98 + 9.8 t  - 1/2 · 9.8 t²

dividendo tutto per 9.8...

t² - 2t - 20 = 0

t = 1 + √21 ≈ 5.58 s

Ovviamente abbiamo escluso la soluzione negativa

 

(b)

Scriviamo la velocità di salita in funzione della velocità di partenza senza far intervenire il tempo. In altre parole, usiamo la formula di Torricelli, ponendo uguale a 0 la posizione iniziale e uguale a -g l'accelerazione che subisce a causa della gravità:

v_s² = v_o² - 2 gh            .... (1)

Scriviamo la stessa relazione per la velocità di discesa. Per fare questo basta ricordare che quando il razzo scende e ripassa dalla posizione iniziale la velocità è la stessa che aveva alla partenza. Il moto in discesa, perciò, ha la stessa velocità iniziale e un'accelerazione positiva:

v_d² = v_o² + 2 gh

Abbiamo, però, un'informazione in più, ossia sappiamo che v_d = 2v_s

Ne segue che

(2v_s)² = 4 v_s² = v_o² + 2gh                  .... (2)

Inserendo la (1) nella (2)

4(v_o² - 2gh) = v_o² + 2gh

3v_o² = 10gh

v_o² = (10/3)gh                .... (3)

La (3) ci permette di scrivere la velocità iniziale in funzione della sola h che è un valore conosciuto.

L'ultimo passo da compiere è calcolare la massima altezza, ossia l'altezza raggiunta quando la velocità di salita si annulla. Riprendiamo la (1) e sostituiamo v_s con 0 in modo che compaia la massima altezza H.

v_s² = 0 = v_o² - 2 gH

H = v_o²/2g

Inserendo la (3)

H = v_o²/2g = (10/3)gh/(2g)

H =  (10/6)h = (5/3)h

h è un termine noto, perciò:

H = 500/3 ≈166.67 m