Categorie: Fisica classica Matematica
Tags: equazioni del moto geometria analitica quiz scontro evitato
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:10
Evitiamo uno scontro **/***
Anche i moti più semplici permettono problemi interessanti e non proprio banali.
Un'automobile e un camion stanno viaggiando alla velocità di 20 m/s. Il secondo si trova 10 m davanti alla macchina quando, improvvisamente, inizia a frenare causando una decelerazione costante di 2 m/s2. L'automobilista si accorge della frenata dopo due secondi ed è costretto a frenare anch'esso cercando di evitare una collisione. Ci riesce pur se arrivando a contatto con il camion. Si chiede:
Qual è l'accelerazione costante dell'automobile necessaria ad evitare uno scontro proprio per "un pelo"?
Svolgeremo l'esercizio per via "fisica", ricordando le leggi del moto uniformemente accelerato, e per via "algebrica", ricorrendo alla geometria analitica.
Entrambi i metodi sono divertenti e sta a voi scegliere quello che preferite... magari tutti e due.
La soluzione sarà inserita tra un paio di giorni.
SOLUZIONI
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10 commenti
Provo senza alzarmi dal divano, ma mi pare troppo semplice per essere vero. Il camion per passare da 20 a 0 m/s con decelerazione di 2 m/s² impiega 10 s. E in base alla formula s=1/2at² si ferma dopo 100 m. L'auto ha quindi solo 8 s per fermarsi in 60 m. In base alla formula a=v²/2s la decelerazione deve essere di 400:120=3,33 m/s²
Scusa, ma non riesco a capire bene i tuoi passaggi... Oltretutto, nessuno ha chiesto di far fermare il camion, ma solo di raggiungere la sua velocità. Potresti scrivere bene tutti i passaggi...
sbaglio o tu hai considerato questo problema...
La differenza in metri al momento della decelerazione dell'auto è di 70 metri rispetto alla posizione finale del camion... Oltre a considerare un problema diverso, mi sembra che vi sia un errore... non 60 ma 70 metri. O mi sbaglio?
Sí, avevo capito che il camion frenava fino a fermarsi, per cui altrettanto doveva fare l'auto. Il camion si ferma in 100 m, ma l'auto inizia la frenata dopo 2 s, visto che viaggia a 20 m/s, dopo 40 m. Non gli restano che 60 m per fermarsi prima di tamponare il camion.
Mi sono sbagliato perché appunto non ho tenuto conto dei 10 m di distanza iniziale tra i due mezzi. Sorry
Posso aiutarti... ciò che deve andare a zero è la velocità relativa.
Caro Albertone,
il tuo procedimento imporrebbe qualcosa di impossibile, perché tu vorresti scrivere una parabola che abbia il vertice in un certo punto ben stabilito (velocità nulla) e che sia tangente a una retta in un punto ben definito. Non si può... dato il vertice e la tangenza a una retta, il punto di tangenza non può essere imposto da fuori... viene quello che deve venire, dato che la parabola viene definita completamente solo dal vertice e da una tangenza a una retta data.
Un modo per rispondere alla domanda potrebbe essere questo.
Per quanto ho capito anche dai commenti, la condizione limite per non avere il tamponamento è che quando i due veicoli si trovano vicini al contatto le loro velocità sia uguale.
Considerando il tempo t trascorso dall'inizio della frenata del camion fino all'evento descritto sopra, possiamo tradurre l'affermazione sopra in due condizioni:
Tradotte in espressioni diventano:
vi - aa (t-2s)=vi - ac t per le velocità
vi t -1/2 aa (t-2s)^2= vi t - 1/2 ac t^2+10m per lo spazio percorso
Dove vi è la velocità iniziale dei due veicoli, aa ed ac sono le decelerazioni dell'auto e del camion e ^ indica l'esponente. (le scrivo così perché non mi funzionano le formule di CodeGogs)
La decelerazione dell'auto inizia dopo 2s da quelle del camion, quindi il tempo di decelerazione è (t-2s)
E' possibile eliminare vi da entrambe le espressioni poiché compare in addendi uguali sia a destra che a sinistra.
Abbiamo quindi un sistema di due equazioni in due incognite:
aa (t-2s)=ac t
1/2 aa (t-2s)^2=1/2 ac t^2-10m
quest'ultima la posso moltiplicare per 2 per eliminare il denominatore:
aa (t-2s)^2=ac t^2-20m
Un modo per risolvere il sistema può essere questo.
Dalla prima ricavo ac che sostituisco nella seconda che diventa:
ac (t-2s) t=ac t^2- 20m porto a sinistra i termini in ac
ac t (t-2s-t)=-20m
da cui t=20m/(ac 2s)=5s con ac =2 m/s^2
quindi
aa =ac t/(t-2s)=2 5/3 m/s^2=10/3 m/s^2 che dovrebbe essere la soluzione.
Il ragionamento fatto è valido per vi>=10m/s altrimenti il camion si ferma prima.
Due grafici per illustrare la soluzione proposta sopra.
Il grafico delle velocità.
Il grafico delle posizioni.
perfetto Fabry,
in pratica hai anche risposto utilizzando la geometria analitica... posso pubblicare le soluzioni!