Categorie: Matematica
Tags: infinite soluzioni numeri complessi potenza di numeri complessi
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:2
L'eccessiva complessità nasconde spesso la semplicità **
Un titolo poco comprensibile, lo ammetto. In generale, sembra dire che quando i calcoli diventano eccessivamente complessi è facile che essi nascondano qualcosa di estremamente più semplice. Un argomento che forse appare più filosofico che matematico... ma facciamo in fretta a riportarlo a un caso "reale". E quando dico reale dico proprio REALE.
Vogliamo calcolare il valore di ii
Beh... saremmo pronti a scommettere che preso un numero complesso ed elevandolo a un numero complesso il risultato deve sicuramente essere complesso. E, invece, no! Il risultato è un numero reale. Anzi è un'infinita serie di numeri reali!
Dimostriamolo nel modo più semplice possibile, stando attenti che in rete si usano spesso metodi contorti, eccessivamente complicati, quando tutto è invece decisamente più semplice.
Punto essenziale è ricordare la celeberrima formula di Eulero, quella che descrive il legame tra esponenziale e funzioni trigonometriche. In breve:
eiθ = cos θ + i sin θ .... (1)
Rifacciamoci alla rappresentazione grafica dei numeri complessi: sull'asse x mettiamo la parte reale e sull'asse y la parte immaginaria. E' banale calcolare il secondo membro dell'equazione (1).
θ = 0 ei0 = cos(0) + i sin(0) = 1 + i 0 = 1.
θ = π/2 eiπ/2 = cos (90) + i sin (90) = 0 + i 1 = i
A questo punto potremmo concludere immediatamente...
ii = (e iπ/2)i = e -π/2 (i i = i2 = -1)
Su internet si trova spesso questa soluzione sbrigativa... Ma essa non è l'unica!
Infatti, continuando a variare l'angolo, si ha:
θ= π eiπ = -1
θ= 3/2π ei3π/2 = - i
θ = 2π = ei2π = 1
θ = 2π + π/2 = ei(2π + π/2) = i
In generale
θ= π/2 + 2kπ = ei(π/2 + 2kπ) = i
Ne segue che esistono infiniti valori che corrispondono ai diversi valori di i
per cui:
ii = e i(2kπ + π/2)i = e -π/2 - 2kπ
Vi sono infinite soluzioni REALI...
Le operazioni con i numeri complessi non sono argomento difficile, ma bisogna fare molta attenzione a non perdere soluzioni per strada. Per saperne di più consiglio di leggere qui e qui per cercare di entrare in questo strano mondo...
2 commenti
Caro Enzo,
a mio modesto avviso, il campo dei numeri complessi ha un suo fascino particolare.
Riguardo alla particolare potenza in oggetto, allo stesso risultato si potrebbe arrivare applicando il logaritmo naturale di i.
Difatti, partendo dalla definizione di i^2 e “dall’equazione più bella” di Eulero, si può scrivere:
i^2 = −1 = e^(iπ)
e applicando il logaritmo naturale alla prima ed alla terza identità precedente:
ln(i^2) = ln( e^(iπ) ) → 2ln(i) = iπ → ln(i) = iπ/2
scrivendo poi i^i secondo la forma esponenziale di e:
E anche qui rientriamo nel caso di un’unica soluzione reale, quando invece, grazie alla periodicità delle funzioni trigonometriche - e quindi alle rotazioni ripetitive del raggio vettore e del conseguente valore dell’angolo sull’asse x del piano di Gauss - la trasformazione dell’esponenziale e^(θi) in forma trigonometrica mostra invece il numero infinito delle soluzioni reali di i^i.
Stesso discorso sembra valere, con gli stessi passaggi da esponenziale a trigonometrica e stesse soluzioni reali, nel caso di:
(−i)^(−i)
Sì, caro Andy. Le strade per giungere alla soluzione sono più di una, ma si rischia di perdere i pezzi per strada. La tua analisi è perfettamente corretta!