La possibilità di ottenere un risultato partendo direttamente dalla definizione di f(84), con 84 numero minore di 1000, porta inesorabilmente a una funzione che assomiglia tanto a una bambola russa.

E' facile verificarlo...

84 è un numero minore di 1000, per cui possiamo applicare la seconda formula:

f(84) = f(f(84 + 5)) = f(f(89))

Ma 89 è minore di 1000, per cui:

f(84)=f(f(89)) = f(f(f(94)))

ecc., ecc.

In pratica, ogni volta che si applica la regola, ossia si apre una bambola, ci si ritrova con lo stesso problema, ossia un'altra bambola, e via dicendo...

Il procedimento non può portare a nessun risultato concreto.

Per risolvere il problema, la via da seguire è calcolare il valore della funzione per un numero prossimo a 1000. Vediamo come fare...

Consideriamo n = 999.

n è ancora minore di 1000 per cui deve valere la seconda regola, ossia:

f(999) = f(f(999 + 5)) = f(f(1004))

Tuttavia f(1004) ha una n che è maggiore di 1000, per cui deve valere:

f(1004) = 1001

e quindi:

f(999) = f(1001)

Ma 1001 è maggiore di 1000, per cui possiamo scrivere:

f(999) = 998

Bene, proviamo, allora, a calcolare

f(998)

f(998) = f(f(1003)) = f(1000) = 997

f(998) = 997

Il gioco è fatto... Possiamo, infatti, proseguire verso n minori senza rischio di cadere nella bambola russa...

f(997) = f(f(1002)) = f(999)

ma f(999) è già stato calcolato, per cui:

f(997) = 998

f(996) = f(f(1001)) = f(998) = 997

f(996) = 997

Non abbiamo più bisogno di scavalcare 1000. Infatti:

f(994) = f(f(999)) = f(998) = 997

f(996) = 997

Ormai è chiaro: i risultati sono sempre  998 o 997. In particolare se n è pari abbiamo 997, mentre se n è dispari abbiamo 998.

Ne segue che

f(84) = 997