Categorie: Pianeti
Tags: nono pianeta parallasse annua periodo orbitale quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:14
QUIZ sul nono pianeta **
E' più significativo il movimento apparente del nono pianeta a causa del suo moto orbitale o a causa della parallasse annua?". Assumiamo come raggio della sua orbita circolare 600 UA (approssimazione enorme, ma già interessante). A voi la risposta... Guardate che NON è un problema di meccanica celeste, ma molto, molto meno...
QUI la soluzione del quiz
14 commenti
Beh...?! Mi aspettavo moltissime risposte... non deludetemi!!!!
Per la parallasse annua sfrutto la trigonometria scrivendo:
D = R*tgp
dove:
- D è il diametro dell’orbita terrestre (2 U.A.)
- R è il raggio dell’orbita di X (600 U.A.)
- P è l’angolo al vertice del triangolo T1-X-T2
Si ottiene che l’angolo p vale circa 0,2°
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Per il moto orbitale devo conoscere alcuni dati del sistema Sole-X.
Posso comunque scrivere che:
T = 2π*Ѵ( R^3/G*M)
dove:
- T è il periodo di X intorno al Sole
- M è la massa del Sole
L’angolo θ “spazzato” da X nel tempo t vale:
θ = t* Ѵ(G*M/ R^3)
Ponendo t pari a 6 mesi (tempo necessario alla Terra per descrivere metà orbita), si ottiene che l’angolo θ vale circa 0,3°
Sperando di non aver sbagliato qualche calcolo!!!!
Scusa non mi ero accorto la riposto quì:
Per il moto proprio abbiamo rad= 360x37x10^6/90x10^9= 0,148,
per la proiezione dovuto al movimento della terra abbiamo rad=360x300x10^6/90x10^9=1,200.
Sicuramente ho sbagliato qualcosa, ma sembrerebbe più semplice vedere la proiezione dovuta al movimento della terra. Ma potrebbero anche sommarsi o sottrarsi a seconda dei movimenti reciproci.
scusa Alvy,
P lo ricavi direttamente dal semiasse (= raggio)
ma se 2π/P(anni) = x/0.5 anni si ha subito x in radianti o in quello che vuoi...
Non è più semplice...?
Si scusate, nella prima formula ho riportato D anzichè D/2. Il risultato (0,09°) va poi raddoppiato per sfruttare il moto della Terra lungo 6 mesi di viaggio.
Per la parallasse il problema è che devo comunque calcolare il periodo di X. Si, in effetti il tuo passaggio è immediato.
Perché devi calcolare il periodo per la parallasse? Puoi considerare X fermo, ossia senza moto proprio...
Si scusa Enzo, la parallase (1° caso) non c'entra; il pianeta è fermo ed applico solo formule di trigonometria. Ho commesso l'errore di scrivere D anzichè D/2 nella formula. L'angolo che si ottiene è quello che compete ad una percorrenza pari ad 1/4 dell'orbita da parte della terra. Se raddoppio detto angolo ottengo il valore che compete alla percorrenza di metà orbita terrestre.
Nel 2° caso (moto orbitale) devo determinare in qualche modo il valore del periodo del pianeta che, inevitabilmente, compare anche nella tua espressione 2π/P(anni) = x/0.5 anni. Posso calcolare l'angolo che mi interessa (da te indicato con x) se determino il periodo P. Quest'ultimo, fissato il raggio dell'orbita, dipende dalla massa del Sole e da G, da cui i calcoli ... che si devono sviluppare.
caro Alvy...
se scrivi il semiasse in UA, la radice del suo cubo è uguale al periodo in anni... Keplero insegna...
Ah ah, questo è un colpo basso ....
cosa che capitano... sempre da Newton deriva tutto...
Ci provo...
PARALLASSE
SP= distanza Sole-Pianeta= 600 UA
ST=distanza Sole-Terra= 1UA
alfa=angolo Terra/Pianeta/Sole
SP=ST/tan(alfa) alfa=arctan (ST/SP)=arctan 1/600= 0,095
Angolo di parallasse = 0,095 x 2 = 0,19
MOTO ORBITALE
Terza legge di Keplero:
PRT= Periodo rivoluzione Terra
PRP= Periodo rivoluzione Pianeta
SP e ST come sopra
svolgendo i calcoli ottengo PRP=14.700 anni circa
14.700 : 1 = 360 : x
x = 360/14.700 = 0,o25 = Angolo dovuto al moto proprio
Quindi dovrebbe essere più semplice individuare il pianeta con il metodo della parallasse... spero...
Caro Enzo se i calcoli che ho fatto sono corretti mi sembra che ci vuole un colpo di fortuna, anche se apparentemente il metodo della parallasse sembra avere la meglio... già ma quanti oggetti di magnitudine +22 si intende misurare?
Io il problema lo affronterei così, partendo dalla centripeta: ac = v²/r.....
ma anche: F=ma …... per cui a = F/m
La forza di gravità è uguale a: F= GMm/r²
a = GMm/mr²
ne segue che l'accelerazione centripeta di gravità (in questo caso) è uguale a:
a = GM/r²
Non resta che eguagliare questi due modi di calcolare l'accelerazione centripeta:
v²/r = GM/r²
v² = GMr /r² = GM/r
v = √GM/r
Per curiosità voglio vedere a quale velocità viaggia il potenziale nono pianeta, ricordando che:
v = √GM/r
v = 1, 2157 10³ mt/sec
Conoscendo la velocità trovo il Periodo che impiega a compiere una rivoluzione intorno al sole
P = 2πr/v
Tradotto in gradi: se impiega 14700 anni per compiere 360°, in 1 anno percorre:
360°/14 700 = 0,0244897258 gradi, ossia circa 88 secondi d'arco all'anno
Per quanto riguarda l'altro metodo, si possono sfruttare le due posizioni opposte della Terra nel compiere la sua orbita intorno la Sole, che avviene ogni sei mesi... per sfruttare la parallasse.
Dato che la distanza di un corpo è uguale a:
d = ½ b (lato triangolo)/Tang α/2
tan α/2 = ½b/d
½ b è proprio la distanza Terra Sole, ossia 1 UA, mentre d si presume di 600UA
tan α/2 = 1/600 = 0,0016666
a tale tangente corrisponde un angolo 1/2 α di 0,0955 gradi
L'angolo alfa è il doppio, quindi dovremmo aspettarci una parallasse di:
α = 0,191 gradi che corrispondono a circa 687 secondi d'arco
Decisamente meglio, ma è pur vero che con l'altro metodo dopo 10 anni lo spostamento angolare diventa di 880 secondi d'arco...
Paolo
Giusta osservazione, Paolo!
Nel testo del quiz non c'è scritto che l'osservazione deve durare un anno...
Hai ragione Daniela e, ovviamente Paolo. Il quiz voleva solo un confronto tra due grandezze equivalenti... ecco perché lo stesso periodo di tempo... Questi pappalicoli non me ne perdonano più una!!!