Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Un po’ ovunque si può trovare la definizione di energia cinetica come lavoro fatto da una forza per portare un corpo da una certa posizione iniziale, in cui è fermo (velocità zero), a una finale con velocità v. Il tutto viene effettuato a partire dal tempo zero per arrivare al tempo t. In poche parole, tempo zero, posizione zero e velocità zero individuano l’inizio del lavoro, mentre s, t e v indicano la fine. Vediamo, ancora, che riusciamo a definire un certo tipo di energia, ma come essa  rimanga una grandezza indistinta, ben lontana dal rappresentare qualcosa di "concreto".

Consideriamo il caso più semplice, in cui lo spostamento del corpo avvenga sempre lungo la stessa direzione. Non dimentichiamo mai che il lavoro è una differenza di energie e viene definito come il prodotto scalare (QUI) tra la forza e lo spostamento (due vettori). Dato che stiamo lavorando in una sola direzione, possiamo tranquillamente passare ai moduli e scrivere:

L = F ∆s

Sappiamo già il risultato, ricordando che l'energia cinetica di un corpo fermo è uguale a zero, …

L = F ∆s = K_F – K_I = ½ mv²(t) – ½ mv²(0) = ½ mv²(t) = K

Partiamo dalla definizione di lavoro e arriviamo alla classica definizione dell’energia cinetica acquisita dopo un certo tempo t, dopo aver percorso lo spazio s e aver raggiunto la velocità v.

Non vogliamo ripetere il calcolo che si può trovare ovunque e che si riferisce alle basi della meccanica classica (basta ricordare il moto uniformemente accelerato). Noi vogliamo utilizzare il calcolo integrale (vedi le lezioni relative agli integrali nell'approfondimento sulla Matematica, dal numero 51 al 61) . D’altra parte dobbiamo proprio sommare tanti prodotti infinitesimi F ds da s = 0 a s = s.

Scriviamo, quindi, senza esitazione (ricordando che v = ds/dt):

L = ∫₀^s F ds = ∫₀^s (dq/dt) ds = ∫₀^s (d(mv)/dt)ds = ∫₀^t (d(mv)/dt)vdt = ∫₀^v (v d(mv)

Notate che abbiamo cambiato i limiti di integrazione a seconda della variabile considerata, sapendo bene che a t = 0 corrispondono s = 0 e v = 0 e a t = t corrispondono s = s e v = v  (queste erano le ipotesi di partenza e di arrivo)

Nel caso classico, m = m₀ = cost.

L = ∫₀^t F ds = ∫₀^v m₀v dv = ½ m₀v² – ½ m₀ 0 = ½ m₀v² = K

L’energia cinetica K è proprio data da:

K = ½ m₀v²

Abbiamo eseguito un integrale immediato (QUI), del tipo:

∫ x dx = x²/2 + c

Non ci resta, adesso, che introdurre la nuova definizione di quantità di moto e vedere come si trasforma l’energia cinetica di un corpo che parte da fermo e arriva alla velocità v.

∫₀^s F ds = ∫₀^s (dq/dt) ds = ∫₀^s (d(m₀γv)/dt) ds = ∫₀^t (d(m₀γv)/dt) v dt      …. (1)

Dobbiamo perciò calcolare l’integrale nel tempo della funzione:

P(t) =  F v = v d(m₀γv)/dt  …. (2)

Non l’abbiamo chiamata P(t) a casaccio. Essa è proprio la potenza meccanica, ossia il lavoro compiuto nell’unità di tempo. Infatti:

P = dL/dt = F ds/dt = F v

Tuttavia, è inutile entrare nei dettagli, dato che il nostro scopo è ben altro.

La (2) non ci piace tanto come funzione di cui calcolare l’integrale. C’è una bella derivata già pronta, ma c’è anche una v sola soletta. Niente paura! Andiamo a recuperare un quiz che avevamo proposto poco tempo fa (QUI) con la relativa soluzione (QUI).

Riassumendo, era stato dimostrato che:

v·d(γ·v)/dt = c²· dγ/dt

Moltiplichiamo entrambi i suoi membri per m₀ (costante) e otteniamo:

m₀v·d(γ·v)/dt = c²· m₀·dγ/dt

Magnifico! Possiamo allora inserire questa funzione all’interno dell’integrale (1)

∫₀^t m₀ (d(γv)/dt) v dt = ∫₀^t c²· m₀ (dγ/dt) dt = c²· m₀ ∫₀^t (dγ/dt) dt

Quasi per miracolo, ci troviamo di fronte all’integrale di una derivata e quindi la sua soluzione è immediata (l’integrale è quella funzione la cui derivata è proprio la funzione da integrare):

K = ∫₀^s F ds = c²· m₀ ∫₀^t (dγ/dt) dt = c²· m₀ (γ(t) – γ(0)) = c²· m₀ (γ(t) -1)

Ricordiamo, infatti, che (per t = 0, abbiamo v = 0)

γ(0) = 1/(1 – v²/c²) = 1/(1 – 0) = 1

Ancora un passaggio e …

K = c²· m₀ γ - c²· m₀ = m c² – m₀ c²       …. (3)

Dove m è la massa relativistica.

Ribadiamo subito un fatto fondamentale che abbiamo già toccato precedentemente. La massa relativistica m tende ad infinito per v che tende a c. Ne consegue che l'energia cinetica di un corpo di massa diversa da zero tende a infinito.

In altre parole: per fare acquistare una velocità pari a c a un corpo di massa a riposo non nulla, sarebbe necessario fornirgli un'energia infinita (ricordiamo che per ottenere energia cinetica è necessario far compiere lavoro a una forza). Questo è il motivo FISICO per cui la velocità della luce rappresenta una velocità limite per qualunque corpo materiale.

Ci torneremo ancora sopra (e come), ma possiamo dire che l’energia cinetica relativistica non è altro che la differenza di due energie (le unità di misura tornano perfettamente). Non fatevi ingannare dal fatto che non vedete la velocità espressa apertamente: essa è compresa nella massa relativistica m.

Assumendo come energia totale E di un corpo in movimento la quantità mc² (deve essere un’energia da come è stata trovata!) si ha:

E = m c² = m₀ c² + K

L’energia totale di un corpo è data dalla somma di due termini. Il primo è l’energia del corpo quando è in quiete, il secondo è la sua energia cinetica. In altre parole, anche se il corpo resta fermo (K = 0), esso possiede comunque un’energia che dipende soltanto dalla sua massa a riposo (moltiplicata per una costante). Non confondiamola con l'energia potenziale gravitazionale, mi raccomando! Non abbiamo nessun campo gravitazionale...

Ripetiamo ancora un risultato fondamentale per tutta la fisica: Un corpo in quiete possiede una certa energia a riposo (E₀) e questa è data proprio dalla sua massa a riposo (a meno di una costante moltiplicativa):

E₀ = m₀c²

La vera legge relativistica rimane, comunque:

E = mc²

In cui la massa è funzione della velocità (ricordiamolo sempre!)

Massa ed energia sono la stessa cosa! Questa conclusione è ancora più evidente se decidiamo di misurare il tempo in metri-luce (ricordate?). In questo caso, come abbiamo visto nella RR, la velocità della luce diventa un parametro senza dimensioni ed è uguale all’unità. Ossia:

E = m

Guardiamola bene e ammiriamola in silenzio: questa semplice formula è un risultato mostruosamente importante per tutta la fisica moderna. E l’abbiamo ricavata con ben poca difficoltà (esistono anche altri metodi, alcuni dei quali apparentemente più semplici, ma troppo legati alla matematica e si perde il senso fisico che abbiamo mantenuto passo dopo passo).

Se ne potrebbe discutere per ore e si scoprirebbero infinite conseguenze fondamentali per tutti i campi della Scienza (chimica, termodinamica, fisica nucleare, …), senza escludere -purtroppo- nemmeno quello militare. Qualcuno la studieremo in dettaglio, ma ormai siamo in grado di capire tutto ciò che leggeremo a riguardo. Le basi sono state fissate e quello che serve è solo passione e applicazione.

Cari amici, ci siamo finalmente arrivati. E’ sempre una bella soddisfazione non prendere la formula  come una specie di etichetta misteriosa, ma vederla comparire attraverso la logica.

Notiamo subito una cosa poco scientifica, ma molto indicativa: la sua semplicità! Si può dedurre con metodi più o meno facili (almeno per il nostro cervello), ma quando appare, sembra addirittura misera e ovvia. Tutto lì? Ebbene sì. Non c’è scritto da nessuna parte che la Natura debba usare formule complicate per costruire le sue leggi. Anzi, più le formule diventano semplici e più si può essere sicuri di essere vicini alla verità.

Va poi aggiunta una considerazione spesso trascurata, che abbiamo già ”toccato”. Einstein non l’ha dedotta casualmente alla fine di tanti calcoli laboriosi. Lui ne ha subito avuto l’intuizione e tutte le formule sono praticamente servite a confermarla e a legarla alle altre leggi fisiche, senza realmente distruggerne nessuna. Uno dei punti cardini della sua teoria è conservare i risultati di Newton per velocità “normali”. Quanti scienziati odierni avrebbero agito in questo modo? Basta vedere le idee rivoluzionarie che, pur basandosi sul niente, cercano prima di tutto di far crollare i pilastri portanti… poi si vedrà.

Non so se Einstein sia stato una persona con turbe emotive e nemmeno mi interessa la sua vita privata. So soltanto che Galileo, e lo stesso Newton, gli avrebbero stretto la mano!

Questa formula è sicuramente la più famosa, anche se porterà a qualcosa di ancora più eccezionale. E’ mai possibile? Sì, dato che attraverso una semplice uguaglianza ricaveremo nientemeno che un nuovo invariante relativistico, qualcosa che non cambia cambiando il sistema inerziale (vi ricordate la “distanza” spaziotemporale s²? In caso negativo, andate a rileggere questo articolo).  Quello che sembra già un capolavoro può perfino essere superato!

Torniamo con i piedi per terra e lasciamo da parte (si fa per dire) l’emozione.

Questo fantastico abbraccio tra massa ed energia fa sì che quando si tratti con particelle estremamente piccole si preferisca (e sia più conveniente) esprimere la massa in termini di energia. In particolare si usa l’elettronvolt (eV) o, più comunemente, il suo multiplo (10⁶) megaelettronvolt (MeV). L’elettronvolt rappresenta l’energia acquistata da un elettrone che viene accelerato da una differenza di potenziale di  un volt. Tanto per fare un esempio, ricordiamo che la massa a riposo dell’elettrone è uguale a 0.511 Mev.