Prima di dare la soluzione della seconda parte del quiz sul canguro papalliano, vorrei richiamare un semplice problema di cinematica che sta alla base dell’esercizio: la caduta della mela di Newton.

Questa fase di “preparazione” la possiamo dividere in due parti.

La prima non è altro che la caduta di un corpo da una certa altezza; la seconda è il lancio di un corpo verso l’alto e la sua ricaduta.

In entrambi i casi vanno ricordate le leggi orarie del moto uniformemente accelerato. Esse descrivono come variano lo spazio percorso e la velocità del corpo in funzione del tempo che scorre. A loro, tra non molto, si dedicherà anche la fisica papalliana…

s = s₀ + v₀t + ½ at²           …. (1)

v = v₀ + at                        …. (2)

s₀ e v₀ sono la posizione e la velocità del corpo al momento in cui il tempo vale 0, ossia all’inizio del moto; t è il tempo che scorre e a è l’accelerazione che rimane sempre costante. s e v sono la posizione e la velocità per un qualsiasi tempo t. Se proviamo a mettere t = 0, troviamo proprio s = s₀ e v = v₀.

Il Papallo cade

Utilizziamo la Fig. 1

e poniamo il nostro Papallo a un’altezza h₀ dal suolo e lo lasciamo cadere sotto l’azione della gravità. In questo caso abbiamo:

s₀ = h₀

v₀ = 0

a = - g

s = 0

L’origine dell’asse s è il suolo e quindi il verso positivo va verso l’alto. Il Papallo parte da fermo e quindi la velocità iniziale è uguale a zero, così come è zero la posizione finale (il Papallo arriva al suolo). L’accelerazione è quella di gravità che è una costante (g) e che viene presa con il segno meno dato che il verso positivo dell’asse s è verso l’alto.

La (1) diventa:

s = s₀ + v₀t + ½ at² = h₀ + 0 - ½ gt²

ma s è uguale a ZERO, quindi si ottiene la relazione:

0 = h₀ - ½ gt²

E ancora:

½ gt² = h₀              …. (3)

La (2) diventa:

v = v₀ + at = 0 – gt = gt

v = gt                  …. (4)

La (3) ci permette di calcolare il tempo impiegato dal Papallo per arrivare al suolo:

½ gt² = h₀

t² =  (2h₀/g)

t = (2h₀/g)^½         …. (5)

Inserendo la (5) nella (4), otteniamo la velocità con la quale il Papallo arriva al suolo:

 v = gt = g(2h₀/g)^½  =  (2h₀g)^½          …. (6)

Il problema è completamente risolto. Conoscendo h₀ (e, ovviamente, g) si ricavano sia il tempo impiegato a cadere al suolo (5) sia la velocità con cui si arriva al suolo (6).

Se, invece, non conoscessimo l’altezza di partenza h₀, ma solo il tempo impiegato a cadere, basterebbe usare la (3) per ricavare h₀.

Se, infine, conoscessimo solo la velocità di arrivo al suolo, la (6) ci farebbe trovare l’altezza h₀:

v² = 2 h₀g

h₀ = v²/2g           …. (7)

Il Papallo salta e ricade

Manteniamo il solito asse delle s di prima e disegniamo la Fig. 2.

Questa volta il Papallo parte dal suolo con una certa velocità v₀ diretta verso l’alto (positiva). Mentre sale, però, subisce la forza di gravità ed è costretto a rallentare fino a fermarsi per poi ricadere. Analizziamo la salita e vediamo come si trasformano la (1) e la (2).

h₀ = s₀ + v₀t + ½ at² = 0 + v₀t - ½ gt²          …. (8)

h₀ è l’altezza raggiunta, v₀ è la velocità iniziale (costante), - g l’accelerazione di gravità, con il segno meno perché è diretta verso il basso, t il tempo trascorso per giungere nel punto di fermata provvisoria in h₀.

La (2) diventa:

v = v₀ + at = v₀ - gt = 0

da cui:

gt = v₀

t = v₀/g             …. (9)

Dove t è adesso il tempo necessario per raggiungere la massima altezza h₀ con velocità uguale a zero.

Quanto vale l’altezza h₀ (adesso è un’incognita del problema)? Ce lo dice la (8):

h₀ = v₀t - ½ gt²            ….(10)

Il tempo t necessario per arrivare nel punto più alto è dato, però, dalla (9) e basta sostituirlo nella (10), che è poi la (8):

h₀ = v₀ v₀/g - ½ gv₀²/g² = v₀²/g – ½ v₀²/g = v₀²/2g      …. (11)

Attenzione: la (11) è perfettamente uguale alla (7), sostituendo v con v₀. Cosa vuol dire tutto ciò?

Un fatto piuttosto ovvio: l’altezza necessaria per cadere al suolo con velocità v₀ è uguale all’altezza che si può raggiungere saltando con una velocità iniziale v₀.

Quanto tempo impiega il Papallo per arrivare a questa altezza massima? Ce lo dice la (9). Infatti, la (11) afferma che:

v₀²/2g = h₀

v₀ = (2gh₀)^½

Sostituendo questo valore nella (9), si ha:

t = v₀/g = (2h₀/g)^½

che è esattamente la (5).

Insomma, ci siamo divertiti a girare in tondo e a fare un po’ di facili calcoli algebrici. Il succo di tutto è che sia la caduta che la salita portano agli stessi risultati, se la velocità di partenza verso l’alto è uguale alla velocità con cui arriva il Papallo al suolo.

Abbiamo detto una banalità? Assolutamente no, pensandoci un attimo sopra. Questa uguaglianza tra salita e discesa non può che farci concludere che è inutile calcolare tempo e velocità della ricaduta del Papallo. Essi saranno uguali a quelli di salita (e, ovviamente, a quelli di sola caduta della prima parte).

Ne segue che il tempo totale di salita e ricaduta sarà esattamente uguale al doppio del tempo di salita e che la velocità al momento della ricaduta sarà di nuovo v₀.

Uniamo le due parti: un canguro perpetuo

A questo punto possiamo collegare la prima e la seconda parte e avere una specie di moto perpetuo… Il Papallo cade partendo da h₀, tocca il suolo con v₀. Se il suolo lo fa rimbalzare in modo perfettamente elastico la sua velocità diretta verso l’alto è esattamente v₀ (conservazione della quantità di moto) e il Papallo arriva nuovamente fino ad h₀. Poi ricade e tutto continua all’infinito. I tempi di ogni salto (salita e caduta) sono sempre uguali e doppi di quello della prima caduta. Un perfetto canguro instancabile.

Qual è il tempo totale espresso in termini matematici?

Chiamiamo t₀ il tempo di sola caduta iniziale… Abbiamo:

T = t₀ + 2t₀ + 2t₀ + 2t₀ + …… = infinito           …. (12)

E quanto vale la distanza percorsa dal Papallo?

Chiamando h₀ l’altezza della prima caduta, si ha:

H = h₀ + 2h₀ + 2h₀ + 2h₀ + …… = infinito     …. (13)

Un Papallo non perfettamente elastico

Nel nostro problema anelastico, cosa cambia rispetto a questa situazione teorica e perpetua? Solo il fatto che la velocità con cui il Papallo piomba al suolo è maggiore di quella con cui il Papallo risale verso l’alto. La velocità del salto ennesimo è uguale alla velocità del salto precedente moltiplicata per il coefficiente di restituzione e, ossia:

v_n = - ev_n-1

Il segno meno tiene solo conto del fatto che si inverte il moto. Tuttavia, a noi poco importa il segno dato che siamo solo interessati al tempo trascorso e alla distanza percorsa (sempre positivi).

Abbiamo in mano tutti i dati necessari per descrivere lo svolgimento dell’intero esercizio. Basta soltanto usare un semplice ragionamento e la faccenda diventa estremamente banale. In particolare, vedremo che la e entrerà pari pari sia nel tempo che nell’altezza  successiva.

Il primo tempo da sommare è quello di sola caduta (5):

t₀ = (2h₀/g)^½          …. (14)

La velocità con cui arriva al suolo il Papallo, dopo la prima caduta, (chiamiamola u₀) vale (6):

u₀ = (2h₀g)½

la velocità con cui risale il Papallo è (usiamo pure sempre il segno positivo dato che c’interessa arrivare al tempo)

u₁ = eu₀ = e(2h₀g)^½        …. (15)

Il tempo che impiega il Papallo per salire e per scendere è dato da due volte la (9) con la nuova velocità. Ricordando la (14):

2t₁ = 2u₁/g = 2e(2h₀g)^½ = 2et₀      …. (16)

Potremmo già fermarci qui, avendo capito come vanno le cose: il tempo dei prossimo salti completi saranno moltiplicati per e… Proviamolo, usando la (16):

2t₂ = 2u₂/g = 2eu₁/g = 2e²t₀

2t₃ = 2u₃/g = 2eu₂/g = 2e³t₀

…………

Non ci resta che sommare tutti i tempi, sapendo che i salti saranno infiniti. Ma lo sarà anche il tempo totale? Proviamo:

T = t₀ + 2t₁ + 2t₂ + 2t₃ + 2t₄ + ….

T = t₀ + 2et₀ + 2e²t₀ + 2e³t₀ + 2e⁴t₀ ….

T = t₀(1 + 2e(1 + e + e² + e³ + e⁴ + ….))       …. (17)

Fermi tutti! La somma, dentro la parentesi più interna, non è altro che una serie geometrica (QUI). Inoltre la variabile e è compresa tra 0 e 1 e, quindi, la serie è convergente e la somma vale una quantità finita. In particolare:

Σ^∞_n=0 eⁿ = 1/(1 – e)

Sostituendo nella (17), abbiamo:

T = t₀(1 + 2e/(1- e)) = t₀(1 - e + 2e)/(1 - e) = t₀(1 + e)/(1 - e)

Ma sappiamo quanto vale t₀ dalla (14)…

t₀ = (2h₀/g)^½

E, infine, otteniamo:

T = (2h₀/g)^½ (1 + e)/(1 - e)

Dove si vede che se e = 1 (urto completamente elastico) il tempo totale diventa infinito. Negli altri casi il tempo ha un valore limitato, benché i salti siano infinti, ma sempre più bassi…

Se e = 0, il tempo è solo quello della prima caduta, dato che il Papallo si ferma subito non potendo rimbalzare (non vogliamo nemmeno pensare cosa resta di lui…).

Passiamo alla distanza percorsa…

Dalla (7) abbiamo:

h₀ = u₀²/2g        …. (18)

Usando la (11) e sostituendo la nuova velocità.

h₁ = u₁²/2g = e²u₀²/2g = e²h₀

h₂ = u₂²/2g = e²u₁²/2g = e⁴h₀

h3 = u₃²/2g = e²u₂²/2g = e⁶h₀

……………………………………

La distanza totale percorsa dal Papallo è allora data dalla prima discesa h₀ sommata a due volte le altezze di tutti i salti successivi (ogni salto ha una salita e una discesa che devono essere uguali):

H = h₀ + 2h₁ + 2h₂ + 2h₃ + ….

H = h₀ + 2e²h₀ + 2e⁴h₀ + 2e⁶h₀ + …

H = h₀(1 + 2e²(1 + e² + e⁴ + ….))

Abbiamo di nuovo la (17) dove però la serie va con e², ossia possiamo porre:

x = e²

e la parentesi più interna rappresenta una serie geometrica come la precedente:

(1 + x + x2 + x3 +….)

La serie ha quindi come valore:

Σ^∞_n=0 xⁿ = 1/(1 - x)

Ossia:

Σ^∞_n=0 e²ⁿ = 1/(1 - e²)

Da cui:

H = h₀(1 + 2e²/(1 - e²)) = h₀(1 - e² + 2e²)/(1 - e²) = h₀(1 + e²)/(1 - e²)

Con poche formule e molta logica siamo arrivati tranquillamente alla fine (o all’inizio per chi vuole divertirsi con vari valori di e o con altri giochini di estrema semplicità).

QUI trovate il testo del quiz

QUI trovate la prima parte della soluzione