I papallini non erano per nulla soddisfatti di quel gioco lasciato a metà, con un cartello mancante e una strana sottrazione che sembrava non offrire alcun risultato (qui).

C'era molta animazione... alcuni sostenevano che non c'era niente prima del cartello che indicava zero metri, altri rispondevano che se stavi andando alla pista per correre nulla vietava di dire che mancavano 10, 9, 8 o 5 metri prima di raggiungere l'inizio della pista, o meglio il fatidico cartello zero!

PapalMatematico è decisamente d'accordo con i secondi e per dimostrare che hanno ragione, prima di proseguire il gioco, ha fatto posizionare una serie di cartelli prima di quello che indica l'inizio della pista (0 metri), così i Numeri possono manifestarsi e partecipare al gioco.

Questa volta, però, i Numeri compaiono preceduti da un segno più, oppure da un segno meno.

Accanto ai cartelli posti dopo l'inizio della pista i Numeri compaiono preceduti dal segno più, dato che il cartello indica la distanza in più rispetto ad inizio pista.

Accanto ai cartelli posti prima dell'inizio della pista i Numeri compaiono preceduti dal segno meno, dato che il cartello indica la distanza che manca per arrivare ad inizio pista.

In mezzo tra i numeri positivi e quelli negativi è posizionato il cartello che indica 0 metri, un vero spartiacque: alla sua sinistra tutti i Numeri sui cartelli indicatori sono negativi, mentre a destra sono tutti positivi.

PapalMatematico e Numero, invitano i papallini a riprendere il gioco lasciato in sospeso, che consisteva nel sottrarre ad una freccia verde da 1 metro una freccia blu da 2 metri.

Il gioco delle sottrazioni è più complesso di quello della somma e per distinguere i cartelli a sinistra di 0 metri da quelli alla sua destra, i fantasmi dei numeri sono comparsi con segni negativi e positivi.

I Numeri negativi, come quelli positivi sono tutt'altro che immaginari.

Gli stessi Numeri preceduti dal segno meno che compaiono accanto ai cartelli posti prima del cartello zero (inizio della pista) possono comparire accanto ad un termometro quando misura la temperatura di una gelida giornata sotto zero, oppure per indicare: la profondità raggiunta durante un'immersione subacquea (-100 metri), il verso della velocità di un papallino (sta andando verso la giostra o tornando verso casa?), le papalmonete che mancano per comprare la papalbibita...e mille altre cose..

E' bastato aggiungere qualche cartello e capovolgere le frecce per consentire al gioco di proseguire, senza fermarsi davanti ad un problema facilmente risolvibile..

Nel gioco successivo Numero invita i papallini a ruotare la punta delle frecce in un verso oppure nell'altro, consentendo così ai numeri positivi e negativi di comparire anche accanto alle frecce.

I Numeri positivi compariranno accanto alle frecce con la punta rivolta verso destra (fine pista), mentre quelli negativi accanto alle frecce con la punta rivolta in senso opposto, ossia verso sinistra.

Nell'ultimo gioco della somma la punta della freccia blu era posizionata due metri prima del cartello di inizio pista (-2metri), per cui i papallini hanno collocato la coda della positiva freccia rossa (+3metri) accanto alla punta di quella blu, ed ovviamente la punta della freccia rossa è finita proprio sotto il cartello che indica + 1 metro, dopo l'inizio della pista.

La stessa cosa poteva accadere associando i Numeri alla misura di una temperatura: se ci sono -2 gradi (2 gradi sotto zero) e la temperatura sale di +3 gradi, aggiungendo quei 3 gradi positivi alla fine il termometro segna +1 grado.

PapalMatematico, ci tiene a far notare che scrivere:

(-2metri) + (+3metri) = +1metro,

è lo stesso di scrivere: -2 metri + 3 metri =  1metro

Numero, sorride, poiché nel gioco che stava per proporre i papallini dovranno sommare alla negativa freccia blu di -2 metri, un'altra negativa freccia blu di -2 metri, entrambe ovviamente avranno la punta rivolta nel medesimo verso (a sinistra).

Nuovamente PapalMatematico ci tiene a far notare che scrivere:

(-2metri) + (-2metri) = -4metri,

è lo stesso di scrivere: -2 metri - 2 metri = - 4metri

Quel più in mezzo sembra superfluo.

Nei prossimi due giochi, però, invece di sommare frecce negative e positive, i papallini dovranno sottrarle.

Per aiutarli ad affrontare questa nuova operazione, i papallini, che non vogliono certo far brutta figura con i loro eterei amici del Pianeta dei Numeri, hanno chiesto qualche prezioso consiglio al loro amico PapalPiùoMeno...

Grazie alle frecce colorate (negative e positive), per eseguire l'operazione inversa della somma, ossia la sottrazione, basta cambiare il verso (il segno) della freccia da sottrarre.

D'altronde se mancano 2 metri al cartello zero e si sottraggono ulteriori 3 metri, alla fine di metri ne mancano 5 a inizio pista, così come se la temperatura è di -2 gradi e diminuisce di ulteriore 3 gradi, questa scende a -5 gradi.

Questa volta PapalMatematico fa notare che:

(-2 metri) - (+3 metri) = -5 metri     

così come: (-2 metri) + (-3 metri) = -5 metri

La sottrazione è proprio l'operazione inversa rispetto alla somma ed a differenza di prima la presenza del segno meno non è trascurabile, poiché la freccia da sottrarre cambia verso prima di essere accostata alla punta dell'altra freccia, o meglio il numero associato alla freccia da sottrarre cambia segno (da + 3 a - 3)...

PapalpiùoMeno e Numero,  prima lasciare i papallini ai loro giochi,  propongono un'ultima operazione: sottrarre ad una freccia rossa negativa di -3 metri una freccia blu negativa di -2metri.

L'ultimo gioco era decisamente il più complesso, ma per fortuna PapalPiùomeno sa bene che la sottrazione è l'operazione inversa rispetto alla somma, per cui il risultato delle due operazioni deve essere diverso.

PapalPiùoMeno l'aveva detto: La sottrazione deve essere l'operazione inversa della somma !

Senza cambiare il verso, il segno, della freccia blu prima di accostarla alla punta di quella rossa, il risultato sarebbe stato ben diverso ed identico all'operazione della somma.

Poco importa che i Numeri negativi e positivi si manifestino accanto alla lunghezza di frecce colorate, piuttosto che ad una quantità, o una proprietà come la temperatura, il gioco della sottrazione è e rimane l'inverso del gioco della somma!

PapalPiùoMeno e PapalMatematico, prima di salutare gli abitanti del Pianeta dei Numeri, invitano i papallini a confrontare i risultati ottenuti nei giochi realizzati insieme ai loro nuovi amici Numeri, positivi e negativi, prestando attenzione ai risultati uguali, come insegna Papalcaronte (qui e quo):

Sottrarre al Numero negativo -3 un Numero positivo come +2 è la stessa cosa di sommare allo stesso Numero negativo -3 un Numero negativo come -2.

(-3metri) - (+2metri) = -5 metri

e     (-3metri) + (-2metri) = -5metri

Sottrarre al Numero positivo +3 un Numero negativo come -2 è la stessa cosa di sommare allo stesso Numero positivo +3 un Numero positivo come +2.

(+3metri) - (-2metri) = +5metri

e    (+3metri) + (+2 metri) =+5 metri

Sottrarre al Numero negativo -3 un altro Numero negativo come -2 è la stessa cosa di sommare allo stesso Numero negativo -3 un Numero positivo come +2.

(-3metri) - (-2metri)  = -1metro

e (-3metri) + (+2metri) = -1 metro

Sottrarre al Numero positivo +3 un altro Numero positivo come +2 è la stessa cosa di sommare allo stesso Numero positivo +3 un Numero negativo come -2.

(+3metri) - (+2 metri) =+1 metro

e (+3metri) + (-2metri) =+1metro

Passare da una somma ad una sottrazione  è semplicissimo... basta invertire il senso, il segno, della freccia, se questo è positivo diventa negativo, se negativo, positivo...

D'altronde, partendo dalle sole frecce positive, con la punta rivolta verso destra, basta invertirne il senso ogni volta che compare il segno meno.

Anche nel caso più complesso, quando si deve sottrarre una freccia negativa, come nell'operazione: +3 - (-2) = ?

Rispetto alle frecce positive +2 la punta della freccia -2 risulta capovolta:

+3 - (-2) = +3  - (+2 capovolta, ossia -2)

Dopodichè bisogna sottrarla, per cui di nuovo la freccia -2, o meglio + 2 capovolta, viene di nuovo capovolta, quindi:

+3 - (-2) = +3 (+2 capovolta due volte, ossia +2) = 3 +2 =5

La freccia +2, con il primo segno meno  diventa -2 (Numero negativo) e con il secondo segno meno (sottrazione) il suo segno si capovolge nuovamente e diventa positivo +2.

Prima di salutare gli amici papalliani, i Numeri che si sono divertiti molto, confessano di aver aiutato un pochino i papallini durante i giochi, poiché in genere i Numeri positivi compaiono senza alcun segno + davanti, sono solo i numeri negativi, che per distinguersi, compaiono sempre con un segno meno davanti....

Per salutare i loro nuovi amici i Numeri hanno organizzato un piccolo spettacolo... pare che partecipi anche PapalScherzone..

… eh si i Numeri sono eterei, ma PapalScherzone è soggetto alla forza di gravità...

Per oggi è tutto dal pianeta Papalla.