Grazie alla topologia quoziente saremo in grado di costruire degli spazi topologici nuovi e molto interessanti, tipo appunto il nastro di Möbius. Si, siamo arrivati al dunque, ma ancora un attimo di pazienza. Le costruzioni che faremo ci faranno capire l'importanza in matematica delle relazioni di equivalenza, con le quali è possibile perfino "incollare" dei punti di uno spazio topologico.
Ci uniamo alle celebrazioni del settecentenario della morte di Dante Alighieri, riproponendo un progetto di cui andiamo molto fieri, nel quale letteratura, storia e scienza si intrecciano lungo un intervallo di tempo che va dal medioevo più cupo alla cosmologia più moderna: un entusiasmante viaggio al termine del quale dimostreremo, tramite l'analisi dei suoi stessi versi, la capacità del Sommo Poeta di immaginare una struttura teologica e scientifica ben al di là dei suoi tempi, anticipando di fatto la visione matematica di Riemann e quella fisica di Einstein.
Che Riemann non scherzasse affatto con le sue innovazioni è cosa certa; non tutti però conoscono Lebesgue, che fu un personaggio forse non troppo di rilievo nella matematica recente (recente per modo di dire), ma che spianò la strada per una matematica che forse ha i più efficaci risvolti in fisica non classica.
La curvatura è un argomento che è stato più volte trattato in questo circolo dal punto di visto divulgativo. Vogliamo adesso approfondire tale concetto nel caso delle superfici. Per capire a fondo il concetto di spazio curvo, dobbiamo pensare alla dimensione della varietà (in questo caso 2) e pensare come vivere in uno spazio bidimensionale come esseri piatti. Il resto viene di conseguenza.
Quanto è lungo un rotolo di carta igienica?
Purtroppo la congettura di Poincarè non è risolvibile con gli strumenti topologici, che sono qualitativi. Abbiamo bisogno di strumenti quantitativi, per risolvere tale congettura. Perciò introduciamo in questo articolo e nel prossimo un breve riassunto sui concetti più importanti della geometria differenziale; le varietà differenziali e quelle dotate di metrica.
Nella serie "MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS", abbiamo visto come generare delle varietà bidimensionali in modo astratto. Riprendiamo in modo meno formale tale procedimento,estendendolo allo studio delle tri-varietà,ossia le varietà di dimensione tre,che non sono rappresentabili nello spazio tridimensionale.
Nato nel 1854, Poincaré fu l’ultimo genio mondiale di cognizioni scientifiche universali, non frenato da alcuna barriera disciplinare, forte d’una erudizione scientifica portentosa. Formulò quello che è stato il il quinto problema del Millennio, la congettura che porta il suo nome. Per non parlare del grosso contributo dato allo studio della relatività ristretta.
Tra topologia e relatività stiamo volando un po' troppo in alto e mi sembra giusto accontentare anche i meno esperti con qualche semplice esercizio di meccanica classica. Iniziamo con la cinematica e con un esercizio veramente banale che si può risolvere anche sotto un ombrellone.
Eccoci dunque alla prima puntata della serie dedicata alla congettura di Poincaré. Per capire bene l'enunciato della congettura è necessario conoscere il concetto di "semplice connessione". Procederemo in modo intuitivo, aiutandoci con disegni e ragionamenti abbastanza pratici. Non tutti gli enunciati saranno dimostrati formalmente. D'altro canto, quanto fatto nella prima serie topologica dovrebbe essere sufficiente per comprendere a fondo questo articolo.
Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica Con l'articolo sul piano proiettivo si conclude la serie "Matematizziamo il nastro di Mobius" in cui sono stati esposti i concetti fondamentali della topologia generale. Ma lo topologia non finisce qui.Il tutto andrà poi esteso alle tri-varietà; fino ad ora ci siamo occupati di […]
In questo articolo scoprirete che il piano proiettivo è tutt'altro che un piano. Analizzeremo vari modelli di questa superficie topologica che risulta ancora più complicata della bottiglia di Klein, pur avendo con essa delle affinità.
Ormai sto per tornare a casa (il 31 maggio), sperando di avere di nuovo una gamba funzionante. Un mese (quasi) di ospedale non mi hanno permesso di "lavorare"molto, ma di pensare parecchio. Ne conseguono una serie di riflessioni che non possono non influenzare il nostro stesso "circolo".
Continua il nostra viaggio nell'affascinante mondo delle superfici ottenute con il passaggio al quoziente. Riusciremo a costruire una superficie chiusa e non orientabile, la superficie di Klein. Ma a differenza di quelle viste fino ad ora,questa superficie non esiste nello spazio tridimensionale.
Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica Ci sono più modi per costruire una sfera con la topologia quoziente. Il più semplice consiste però nel fare il quoziente di un disco. Fino adesso abbiamo fatto quozienti di quadrati e rettangoli, ma nulla ci vieta di farlo di altri sottospazi topologici. Consideriamo […]
Un punto d'incontro fra il toro descritto da Arturo negli articoli sulla geometria dello spazio, e il toro "topologico" ovvero descritto in modo astratto tramite la topologia quoziente. Dimostreremo in questo articolo che le due superfici sono omeomorfe.