Secondo appuntamento con la RRR, forse addirittura ancora più banale e ripetitivo del primo. Tuttavia, alcuni concetti importantissimi si fanno già strada tra tante ovvietà. Uno fra tutti è la necessità di usare due orologi per misurare "qualcosa" su un altro sistema.
Iniziamo ad approfondire, semplificando al massimo (spero), alcuni concetti base della RR. Lo facciamo anche con quelli più ovvi e banali (apparentemente). Bloccatemi appena qualcosa non appare completamente logico o intuitivo. Questo articolo è un tentativo per capire, tutti assieme, se è utile oppure no rivedere i concetti essenziali. Nel caso, aggiungeremo qualche parte nella trattazione della RR complessiva. Forza, lavoriamo insieme per costruirci la nostra RRR. Vi prego, però, di esprimere i vostri dubbi. Nessun commento significa comprensione totale. Intervenire dopo aver introdotto molti altri concetti renderebbe la faccenda sempre più caotica e confusionaria.
Questo articolo vuole solo essere una esercizio per mettere alla prova la comprensione dei concetti che abbiamo descritto finora. E’, quindi, un invito a passare all’azione e controllare se avete digerito la logica descritta finora. Completato l’esercizio, ci fermeremo a osservare i risultati ottenuti e cercheremo di capire la loro “stravaganza”. Questa riflessione servirà come punto di partenza per una trattazione molto più tecnica e generale.
La Relatività Speciale o Ristretta, insieme alla sua rappresentazione completa nel diagramma di Minkowski, sono troppo utili, importanti e affascinanti per non essere digerite perfettamente e senza ripensamenti o dubbi. Penso che sia più utile fermarci un po' e rileggere attentamente quanto scritto finora e cercare di dipanare tutti i dubbi. Questo "post" potrebbe raccogliere idee, commenti, dubbi, incomprensioni e tutto ciò che vi salta in mente... Poi, potremo entrare nello spazio non euclideo di Minkowski molto più sereni!
Due giovani italiane realizzano un geniale modello per lo studio dei frammenti spaziali che si originano nelle collisioni tra l’innumerevole spazzatura che orbita attorno alla Terra e che può causare gravi danni ai satelliti che continuano a essere immessi attorno al nostro pianeta. Ovviamente, Media INAF, i giornali e le TV non le hanno ritenute degne di menzione, preferendo i cinguettii e le giravolte sponsorizzate della simpatica AstroSamantha e i concorsi vari con premi e "cotillon", senza dimenticarsi dell’Expo!
Continuiamo a prendere conoscenza con il diagramma di Minkowski. Abbiamo visto che la trasformazione di Lorentz trasforma un sistema di assi ortogonali in un sistema di assi non ortogonali. Per definire il nuovo sistema è, però, necessario ricavare l’unità di misura sui nuovi assi ottenuti con la trasformazione.
Questo articolo (che fa parte della relatività speciale) è anche la soluzione del quiz sulla contrazione di Lorentz che non si vede ma… c’è. Esso può essere spiegato, in prima approssimazione, con una geometria molto semplice e immediata. Per non smentirci mai, alla fine viene prospettato un nuovo esercizio di analisi matematica…
Questo quiz è decisamente difficile, ma qualcuno potrebbe aver voglia di provare (non vi sono formule complicate da applicare se non quelle che già conosciamo bene dalla relatività speciale).
Rispondendo all’ultimo quiz sulla simultaneità, introduciamo ufficialmente il diagramma di Minkowski. Questa parte è estremamente semplice, ma il concetto deve essere compreso molto bene per non andare in crisi non appena introdurremo una nuova distanza invariante.
Innanzitutto, devo chiedere scusa a SuperMagoAlex, mio insostituibile amico-collega-assistente. Tra pochi giorni terrà una conferenza a un pubblico di astrofili e appassionati sul concetto di “tempo” o giù di lì. Un’impresa non facile che lo sta occupando a "tempo" (quasi) pieno. Mi ha chiesto personalmente di non inserire nuovi quiz che lo distrarrebbero… Però, però, Lorentz mi ha contattato, mi ha “bacchettato” e devo intervenire. Inserisco, quindi, un nuovo quiz analogo a quello precedente. Tuttavia, non darò la risposta fino a quando SMA non avrà avuto il tempo di dedicargli un po’ di tempo (più o meno una settimana). L’attesa avrà come premio la pubblicazione, sul sito del nostro “circolo”, dell’intera conferenza. Forza SMA siamo tutti con te! Gli altri, intanto, facciano un po’ di ripasso e qualche piccola operazione matematica. Come vedete, il quiz ha solo due asterischi e quindi è veramente facile…
La determinazione della linea di simultaneità è fondamentale per entrare nel mondo del diagramma di Minkowski. La determineremo anche matematicamente, ma prima è molto meglio ricavarla in modo grafico e immediato (o quasi…). Essa ci descrive l’asse x’ da accoppiare a t’, per un sistema in movimento, ed è la base per descrivere la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.
Le difficoltà che intuisco dalla mancanza di risposte al quiz, mi fa temere che il concetto di relatività della simultaneità non sia stato compreso perfettamente. Cerco di spiegarlo ancora meglio per dare un ulteriore aiuto alla risoluzione del quiz. Forse, però, è tutta la relatività ristretta che incute paura. Non so se proseguire oppure no con la RR… Che mi dite?
Il quiz che vi pongo DEVE essere risolto graficamente e solo attraverso la logica. Non è necessario (anzi NON voglio proprio) che siano utilizzate le formule che abbiamo imparato finora (capito Alvy...?). La motivazione del quiz è solo quella di capire se abbiamo digerito bene i concetti descritti finora e che ci hanno permesso di creare le basi fondamentali della relatività ristretta. Qualsiasi formula, che non sia una semplice proporzione, è del tutto inutile, dato che l’argomento sarà affrontato con ben altra attenzione nel seguito della nostra avventura nello spaziotempo di Minkowski.
Abbiamo parlato spesso di punti lagrangiani, di asteroidi troiani, di lobi di Roche e di cose simili. Tuttavia, è ora di cercare di determinare questi celebri punti, dovuti al grande matematico italiano de La Grangia (malgrado i francesi abbiano cercato di strapparcelo cambiando anche il suo nome). Cerchiamo soltanto… dato che possiamo arrivare solo all’equazione da risolvere. Poi la matematica necessaria prende il volo.
Per far contento Alvy (ho cercato di prevedere i suoi commenti… alieni), ho deciso di inserire anche la derivazione del raggio di Hill, eseguita in modo meno approssimato, anche se ai fini pratici le cose non cambiano di molto. Inoltre, il metodo non mi piace più di tanto… Che ci volete fare, anche la meccanica comporta preferenze…
La sfera di Hill è particolarmente utile nello studio delle orbite dei satelliti artificiali, dato che pone limiti abbastanza severi per essere sicuri che le perturbazione esterne non causino derive della traiettoria. Anche se si avvicina molto alla definizione di punto lagrangiano, la base concettuale è decisamente diversa. Essa serve per inserire qualcosa in orbita attorno a un corpo che ruota attorno a un altro più massiccio; il punto L1 stabilisce invece un punto di equilibrio tale che un corpo inserito in quella posizione rimanga fermo rispetto al sistema rotante delle due masse principali. Una determinazione accurata è tutto meno che semplice, e ci si accontenta, normalmente, di una approssimazione che risulta del tutto sufficiente se si rimane abbondantemente all’interno della sfera.