Questo articolo è un po' più difficile di quelli trattati finora, richiede una buona capacità di astrazione. Vedremo come generare un gruppo partendo da un insieme qualsiasi. Qualcuno si chiederà a cosa può servire una cosa del genere.. vi anticipo solo che è fondamentale per comprendere uno dei più importanti paradossi della matematica moderna, quello di Banach-Tarski.
Innanzitutto, come dice giustamente Scherzy (una volta tanto siamo d’accordo… il mondo sta forse invertendo il senso di rotazione?), la risposta alla domanda: “Cosa dovete fare, mentre disegnate la stella, per far sì che la somma degli angoli di tutte e cinque le punte (A + B + C + D + E) sia esattamente uguale a 180°?”. Bene facilissimo… : “Niente!”. A parte, ovviamente, tracciare la linea continua, senza mai fermarsi, e concludere la stella cinque punte. Qualsiasi stella otteniate in questo modo ha SEMPRE la somma degli angoli delle punte uguale a 180°. Vedremo, poi, come Maurizio sia riuscito a generalizzare il problema… Un articolo da leggere, perché è un esempio brillantissimo di come la collaborazione, impostata sul divertimento (e sulle capacità, ovviamente), riesca a dare informazioni sempre nuove e inaspettate.
Proprio oggi ho avuto l’occasione di mettere alla prova logica e intuito per risolvere un “serio problema” tra compagni di classe… come utilizzare ben due euro avanzati da una raccolta di soldi effettuata per un’uscita didattica!
Il mio tentativo di “incastrare” i più bravi, proponendo uno studio di funzione, quando il tutto è risolvibile con semplici considerazioni geometriche, è fallito miseramente e … ne sono contento! Sono, inoltre, particolarmente grato ad Arturo che, pur capendo l’inghippo, si è cimentato, comunque, nello studio analitico (in due modi), ottenendo, ovviamente, la soluzione geometrica. Propongo direttamente i suoi manoscritti come ottimo esempio di trattazione matematica (anche se praticamente inutile). Lo so, faccio troppi complimenti ad Arturo… ma quando ci vuole, ci vuole… Complimenti anche a Gimar e Leandro, ovviamente…
Grazie ai suggerimenti di Umberto, riesco finalmente a pubblicare la soluzione della seconda puntata, nella quale abbiamo giocato a riconoscere se un numero è divisibile per 11 solo guardandolo ed eseguendo a mente somme e sottrazioni con le cifre che lo compongono.
Proseguiamo lo studio dei gruppi, analizzando due gruppi fondamentali costruiti su Z; La classe di resti modulo n e il gruppo prodotto. Poi la verifica del fatto che anche le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo.
Eccoci a un bel problemino geometrico-matematico. In fondo, però, si tratta solo di trovare la relazione tra due angoli… una cosa da ridere (?). Forza…
Questo articolo porta il nome del solo Umberto, ma, in realtà è stato elaborato completamente da Fabrizio e da Umberto che hanno ottenuto, indipendentemente, la stessa soluzione. Enzo ha solo aggiunto qualche pezzetto come collante. Una piccola sorpresa nell'ellissi di minimo periodo, ma un esercizio di sicuro valore. Grazie quindi, a nome di tutti, A FABRIZIO e UMBERTO, veri artefici dell'opera d'arte!
Nella prima puntata vi ho raccontato come sia possibile far nascere i numeri da 1 a 9 semplicemente moltiplicando numeri composti solo da cifre uguali a 1, oggi vorrei continuare l’argomento, parlandovi di un’altra magia che ha come protagonista il numero 11 e che ho scoperto da sola…
Continuiamo il nostra percorso nei prerequisiti fondamentali sulle matematiche pure. Dopo esserci occupati di relazioni di equivalenza, fondamentali in ogni settore delle matematiche astratte, e di funzioni biunivoche (definizione di numero cardinale) ci occuperemo di una struttura molto nota e molto usata nella matematica moderna, quella di gruppo.
Il Circolo evolve sempre più... e non c'è nemmeno bisogno che riporti in un articolo le soluzioni, dato che sono state perfettamente date da alcuni dei "soliti" collaboratori sempre più bravi. Basta leggere i loro commenti, con tanto di formule e bellissime figure...
Grazie ad Arturo e Umberto, posso ufficializzare la soluzione del mio primo quesito e grazie a Zappi ora so che un certo Nicomaco di Gerasa, matematico e pensatore greco vissuto a cavallo tra il I e II secolo d.C., ci aveva già pensato parecchio tempo fa: da un lato un pochino mi dispiace, dall'altro mi fa piacere essere in buona compagnia!
Questo esercizio è di pura matematica e necessita di una certa esperienza e intuizione. Insomma, è un po’ cattivello… ma sono convinto che qualcuno mi stupirà…
Eccovi un quiz che forse è in divenire, ossia che potrebbe anche ammettere divagazioni più o meno interessanti, come quello delle sei puntine da disegno. Io non l’ho investigato più di tanto…
In questo articolo ci proponiamo di dare la definizione di numero cardinale usando il concetto di classe di equivalenza visto nell'articolo precedente. Ne approfittiamo anche per introdurre la funzione inversa e la funzione composta di una funzione, a complemento di quanto già visto nell'articolo su corrispondenze e funzioni.
Questa soluzione in realtà nasce un po' come un gioco di squadra, nato da un quiz che come per magia si è trasformato in un mosaico, costruito tessera dopo tessera da diversi protagonisti: Valentina, Leandro, Paolo Salvini, Arturo ed il sottoscritto.