Mi chiamo Valentina, ho 17 anni, frequento il quarto anno del liceo scientifico e mi diverto a giocare con i numeri… mi diverto talmente tanto che, a volte, la mia testa ci gioca da sola senza che me ne renda conto finché, all’improvviso, si decide a far giocare anche me e mi “appaiono” davanti agli occhi delle regole o delle espressioni fino a quel momento sconosciute (almeno per me). Avete voglia di conoscerne qualcuna?
Le relazioni e le classi di equivalenza aprono un altro capitolo estremamente importante della teoria degli insiemi. Tramite le classi di equivalenza è stato possibile formalizzare correttamente le definizioni di numero intero, razionale ed altro ancora. In poche parole costruire una base solida della matematica.
Sta per finire il viaggio nel paradiso di Cantor, mancano pochi articoli per la conclusione .Per cui sto già pensando a dei nuovi argomenti molto interessanti che riguardano la matematica (se si può dire) moderna. Se con Cantor ce la siamo cavata con poche nozioni sugli insiemi, introducendo di volta in volta concetti che bene o […]
La congettura che ogni insieme può essere ben ordinato presupposta da Cantor , fu dimostrata da Zermelo con il teorema sul buon ordinamento. Tale teorema ci porta immediatamente ad un'importante conseguenza; gli ordini d'infinito di due insiemi qualsiasi sono sempre confrontabili.
Questo articolo è esattamente uguale a quello precedente (terza parte) ed è, quindi, la diretta continuazione del secondo e del primo. Ho inserito all’interno le risposte alle domande che erano state fatte (tre). Per cui, posso tranquillamente eliminare quello che avevo identificato come terza parte, che viene sostituito da questo.
Facciamo un passo in avanti e introduciamo il secondo sistema, molto meno soggettivo del primo. Impariamo anche a passare dal primo al secondo e viceversa.
Questo lungo articolo riunisce tutti quelli relativi alla geometria sferica. Esso è stato anche inserito tra gli approfondimenti.
La prima parte del quiz portava facilmente a valutare due casi estremi e il tutto sembrava piuttosto semplice. La fretta, però, è cattiva consigliera ed è necessario che la formica ragioni un po’ più a fondo sulla questione (e non solo lei). Questo articolo regala la soluzione più ovvia, ma introduce un problema più complesso.
Per parlare dei numeri, non basterebbero tutti i libri esistenti al mondo. Essi non sono solo le lettere della matematica, ma molto, molto di più. La matematica (costruita da noi) usa i numeri, ma solitamente non s’interessa di cosa essi siano realmente e di come possano essere veramente descritti. Per capire meglio il loro mondo fantastico è necessario tornare all’antica Grecia (forse anche prima, ma i dati in nostro possesso sono troppo scarsi), in particolare alla scuola di Pitagora. Scopriremo un vero universo, pur limitandoci a poche nozioni. Scopriremo anche che la nostra tecnologia non è ancora riuscita a risolvere molti dei loro segreti.
Il teorema di Zermelo afferma che ogni insieme può essere bene ordinato. Questo va dimostrato con il lemma di Zorn, che deriva dall'assioma della scelta. Georg Cantor considerava che questo enunciato fosse un "fondamentale principio del pensiero". Il lemma di Zorn (oppure l'equivalente assioma della scelta) ha anche conseguenze che possono apparire paradossali, come ad esempio il cosiddetto paradosso di Banach-Tarski.
Questa prima parte del quiz è di una difficoltà molto moderata. Invito a risolverlo in modo molto rapido. Se tutto va come prevedo, avremo da discutere parecchio quando apriremo la seconda parte.
Come già accennato, mentre è abbastanza semplice riuscire a trovare il modo per “affettare” il nostro triangolo, è molto meno intuitivo valutare quante siano in realtà le possibilità di farlo. Esse dipendono dal tipo di triangolo e necessitano di ragionamenti piuttosto elaborati. I nostri Leandro e Fabrizio si sono cimentati con risultati abbastanza generali (molto bravi!), ma preferiamo non andare troppo a fondo della questione che ha anche visto discussioni (ancora aperte) tra gli specialisti. Inseriamo, comunque, un link a un metodo semi-grafico che può interessare i più accaniti matematici.
Questo quiz potrebbe apparire semplice. In effetti, per risolverlo, sono necessari pochi rudimenti di matematica elementare. Tuttavia, può dare luogo a varie possibilità, che possono cambiare da caso a caso. Via, quindi, con la soluzione più semplice, ma via anche con alcune considerazioni meno immediate…
In questo articolo diamo le soluzioni ai vari quiz sulla velocità dell’ombra. Tuttavia, facciamo molto di più… Innanzitutto, l’argomento innesca una serie di ragionamenti e di fenomeni del massimo interesse sia per comprendere il meccanismo in sé, sia per una visione ben più generale dell’ottica geometrica. Un fenomeno, apparentemente assurdo, stimola considerazioni estremamente logiche e spesso non comprese pienamente o affrontate raramente. Inoltre, la serie di commenti giunti dai lettori più preparati, che non hanno avuto paura di mettersi in gioco pubblicamente (non dico intelligenti, ma preparati, dato che i lettori che seguono con costanza questo “circolo” devono essere per definizione intelligenti!), ha permesso di elaborare e di aggiungere considerazioni sempre più raffinate e complete. Non ultima la splendida animazione di Fabrizio. Questo articolo diventa perciò la quintessenza del nostro circolo: un lavoro di collaborazione mentale tra tutti (silenti e non silenti) che io devo solo cercare di descrivere con ordine e con la massima semplicità possibile. Grazie di cuore!
Questo articolo sarà completamente dedicato alla dimostrazione di un importante teorema sugli isomorfismi, essenziale per la comprensione del lemma di Zorn: la Tricotomia degli insiemi bene ordinati.
Questo è il primo di una miniserie di (tre) articoli dedicati unicamente al lemma di Zorn. Per poter enunciare il lemma di Zorn, è necessario conoscere certe definizioni e certi risultati sugli insiemi ben ordinati. Sfrutteremo poi il concetto di catena per esplorare gli insiemi parzialmente ordinati.