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Il teorema di Bernstein risulta necessario per affinare il confronto fra i numeri Cardinali, ed è uno dei teoremi più importanti della teoria degli insiemi.La dimostrazione è complessa ma non estremamente difficile, Vedremo come il concetto di ricorsione, già applicato in altri contesti, occupi una parte dominante nella dimostrazione.

In questo articolo dimostreremo che R non è un insieme numerabile. La dimostrazione sarà quasi immediata servendoci dei risultati dell'articolo precedente, sulle conseguenze della continuità di R. Per giustificare il fatto che ogni intervallo di R è equipotente ad un suo intervallo, ho dovuto rifarmi a importanti teoremi di analisi matematica, di cui però ho dato la dimostrazione in appendice.

Siamo quasi pronti per dimostrare la non numerabilità dell'insieme dei numeri reali. Purtroppo senza alcune proprietà della continuità di R, non è possibile darne un dimostrazione convincente. Di solito si fa in quattro righe sfruttando la notazione decimale dei numeri reali e il secondo metodo diagonale di Cantor; a parte il fatto che la notazione decimale comporta alcuni problemi di non univocità , essa non è una delle cose più semplici da capire a fondo e inoltre deriva sempre dalle costruzioni di Dedekind e quindi dall'assioma di continuità

Cercare di analizzare la cardinalità di R senza prima parlare della continuità che lo caratterizza è assurdo; le dimostrazioni infatti si appoggiano appunto sulla continuità dei numeri reali. E' per questo che l'ordine di infinito di R è diverso (come vedremo) da quello degli insiemi numerabili: a causa della continuità. Lo stesso Cantor per primo, fece una costruzione dei numeri reali per raggiungere lo scopo, noi considereremo però la costruzione di Dedekind.