Mi sto rendendo conto che aver sospeso la relatività ristretta, per proseguire con una matematica estremamente didattica, può sembrare a molti un po’ noioso e inutile. Ho deciso, allora, di mostrarvi come aver imparato a eseguire gli sviluppi in serie sia già un risultato decisivo per un’applicazione fisica che dà luogo a quella che è generalmente considerata la formula, forse, più conosciuta in assoluto (la sanno anche i bambini…). Per adesso, limitiamoci a un facile quiz matematico… ma chi ha voglia di rifletterci sopra può già capire dove si andrà a parare.
Sospendiamo, brevemente, il lento percorso verso gli integrali e divertiamoci un attimo con la storia della matematica. Il nostro Paolo si è scontrato con la progressione aritmetica e ne ha dato una spiegazione che va più che bene (e che in fondo abbiamo già usato nel capitolo 40). Tuttavia, il calcolo della somma dei termini di una progressione aritmetica è stato risolto analiticamente da un bambino di dieci anni, un po’ sfaticato (non voleva eseguire troppi calcoli inutili), ma piuttosto intelligente! Parliamo di un certo Gauss, considerato il più grande matematico dei tempi moderni…
Non vi arrabbiate se vi sto trattando come dei bambini... ma in questo articolo non facciamo altro che calcolare l'area del rettangolo e poi attraverso di lei tentare con qualcosa di molto più "strano" (un triangolo). In fondo, stiamo solo imitando Archimede e non è certo un'offesa!
Potevamo iniziare subito con il calcolo dell’area definita da una funzione qualsiasi (e non solo da una retta come fatto finora utilizzando spazio, velocità e accelerazione). Tuttavia, prima di far ciò, è più che doveroso richiamare i metodi che hanno portato Archimede a ricavare il valore di pi greco e dell’area del cerchio. Due problemi che hanno accompagnato l’uomo per tutta la sua storia e che hanno visto le “sommatorie” come attori fondamentali. Il lavoro di Archimede ha, in pratica, iniziato la storia degli integrali.
Iniziamo, finalmente, il nostro lungo viaggio nel mondo degli integrali. Useremo due modi per definirli, per poi legarli strettamente attraverso un teorema fondamentale. Non abbiate paura, però: il discorso sarà molto semplice almeno fino alla “digestione” completa dei concetti più importanti. Riuscire, poi, a calcolare tutti gli integrali che si vorrebbero, diventa esercizio ben più arduo anche per i professionisti. Si usano vari “trucchi” e le serie ci aiutano. Ma… non corriamo. Cominciamo con qualcosa che è veramente alla portata di tutti: le aree dei rettangoli, dei triangoli e dei trapezi…
N.B.: i primi articoli sugli integrali sono comprensibili e utili a TUTTI, anche a coloro che non sono riusciti a seguire le tantissime lezioni sulla matematica. Vi invito perciò a leggerli ugualmente...
Diamo una rapida soluzione agli esercizi proposti nel capitolo precedente (39), proponendo lo sviluppo in serie e descrivendo la formula più compatta. Un bravo ai nostri (due) lettori che si sono cimentati. Bando alle ciance, è ora di buttarsi all’interno del mondo degli integrali.
In questo articolo applichiamo la serie di Mclaurin a due funzioni estremamente importanti. Di seguito trovate anche qualche esercizio…
Concludiamo la costruzione della serie di Taylor, introducendo il suo termine generale. L'ho letta e riletta, ma non garantisco che non vi sia ancora qualche refuso. Picchiate duro e non abbiate pietà di me!!
Questo non è un articolo facile, non tanto per i concetti che esprime, ma piuttosto per il numero di passaggi che siamo obbligati a fare. Si basa su un teorema classico delle funzioni e presenta perciò un metodo rigoroso, che abbisogna, però, di iterazioni successive (mai facili da digerire e da tenere sottocchio). Mi sembrava, però, doveroso proporlo.
Il gioco è quasi terminato e possiamo tornare, lentamente, verso una visione più seria e precisa. Ciò che abbiamo ottenuto, divertendoci, non è altro che una formula di importanza fondamentale.
Abbiamo iniziato una specie di gioco che sta diventando un piccolo “giallo”. Continuiamo senza preoccuparci più di tanto della visione molto empirica e poco matematica…La mettiamo velocemente alla prova.
L’approccio che cerchiamo di usare, per introdurre lo sviluppo in serie di funzioni, vuole arrivare ad approssimare una data funzione attraverso un semplice polinomio di grado n. E’ un approccio, però, che non troverete nei libri, ma che reputo oltremodo intuitivo e utile per arrivare al nocciolo del problema ed essere poi pronti a una trattazione ben più rigorosa e generale. Nel contempo, le derivate successive incominciano ad assumere un ruolo di primo piano. Divertiamoci un po’ a fare un tentativo che appare campato in aria solo a prima vista…
Anche se abbiamo concluso (almeno momentaneamente) lo studio delle funzioni, queste ultime rimangono un punto fondamentale della matematica e continuano a essere nel nostro mirino. Vogliamo arrivare al calcolo dei loro integrali e quindi cominciamo con il loro sviluppo in serie, un argomento poco divulgato che è però di importanza fondamentale.
Concludiamo (almeno momentaneamente) lo studio delle funzioni con l'introduzione degli asintoti (orizzontali, verticali e obliqui). Vi lascio anche un paio di esercizi da svolgere...
Con questo articolo concludiamo il discorso sui flessi e sulle cubiche, lavorando sulla loro forma completa. Non si deve, però, solo leggere ma anche … agire direttamente.
Per verificare che tutto sia stato compreso, facciamo un paio di esempi pratici: uno con soluzioni reali dell’annullamento della derivata prima e uno con soluzioni immaginarie. Esempi molto utili anche per chiarire meglio le idee sui flessi ascendenti e discendenti.