Un semplicissimo e divertente quiz geometrico, veramente adatto a tutti, soprattutto ai bambini che iniziano lo studio della geometria. Genitori, proponetelo ai vostri figli e invitateli a ragionare. I “più bravi” del circolo aspettino almeno un paio di giorni, sperando di sentire finalmente qualche nuova voce!
I Papalcuriosoni sono un Team di Papallicoli specializzati nello smontare e rimontare giochi.
Appaiono spesso urlando a squarciagola : STOP AL PANICO!
Rispetto ai più semplici racconti dei Papallicoli i Papalcuriosoni affrontano giochi un pochino più complessi... ed i loro racconti necessitano di una maggiore attenzione... comunque sono sempre disponibili a provare a spiegare meglio ciò che potrebbe apparire poco comprensibile...
Non preoccupatevi..... i Papalcursioni compariranno solo ogni tanto...
Questo articolo va oltre la risposta diretta al quiz sull’urto papalliano (che abbiamo già dato). Cerca di descrivere il problema nella sua completezza e di dare risposte più ampie e generali. Come spesso in matematica, esistono vari sistemi per ottenere un certo risultato. In questo caso usiamo sia la geometria analitica sia gli sviluppi in serie, in modo che l’articolo diventi un riassunto di vari concetti, indipendentemente dal suo scopo vero e proprio. Come indicato vicino al titolo esso è stato scritto a sei mani (quelle di Paolo, di Umberto e le mie), dato che ognuno ha contribuito indipendentemente a formulare i diversi tipi di soluzione. Una collaborazione veramente vincente, che siamo sicuri si ripeterà in futuro. Il nostro circolo deve essere qualcosa di attivo e coinvolgente e non un’arida e unilaterale esposizione di concetti. Il mondo di Papalla e i Papallicoli ce lo dimostrano con estrema chiarezza.
In questo breve articolo rispondiamo soltanto alla domanda fatta a proposito del gioco papalliano, in cui due papalli corrono uno verso l’altro con la stessa velocità, mentre un elettrone, di dimensioni nulle, continua a far la spola (con velocità più alta) tra uno e l’altro. Il gioco ha, tuttavia, molti risvolti di tipo didattico e varie possibilità di ottenere risposte più articolate. Seguirà, perciò, quanto prima, un articolo un poco più complesso che sfrutterà le serie convergenti e un po’ di geometria analitica. Un articolo a tre mani, dato che un rilevante contributo alle sue varie sfaccettature è stato dato sia da Paolo che da Umberto. Un tipico lavoro d’equipe!
Così come avevamo creato una tabella per riassumere le derivate delle funzioni più comuni, così possiamo facilmente fare lo stesso con gli integrali corrispondenti. Se si vuole integrare una funzione f(x), che sappiamo immediatamente essere una derivata di una certa altra funzione F(x), possiamo identificare l’integrale con quest’ultima funzione. Ma, non sempre, le cose sono così semplici.
Le derivate comportano sicuramente dei problemi quando le funzioni sono piuttosto complesse. Tuttavia, con un po’ di attenzione e di pazienza, si riesce a portare a compimento l’esercizio. Insomma, le derivate spaventano, ma non poi tanto. Dovrebbe succedere lo stesso con gli integrali che sono l’operazione inversa. E, invece, come tutte le operazioni inverse, le difficoltà crescono di molto. Non è, quindi, assurdo giudicare gli integrali ben più ostici delle derivate. Capita a tutti, anche ai migliori matematici…
Ne avevamo parlato a lungo, ma giustamente si può anche tornare “a bomba” e vedere come sia le leggi del moto di Newton che lo sviluppo in serie possano risolvere il paradosso di Zenone, senza troppe parole.
No, non sobbalzate sulla sedia. Non è ancora tempo per la dinamica relativistica. Umberto, però, è stato molto gentile nella sua richiesta e io mi sono reso conto che ho ancora un po’ di strada da fare per terminare gli integrali. Ho deciso, allora, di regalare a lui (ma non solo a lui, ovviamente) un piccolo assaggio sotto forma di quiz puramente matematico (per adesso, almeno). La soluzione è molto divertente e alla portata di tutti coloro che hanno seguito le derivate. Permette, tuttavia, di superare uno dei passaggi fondamentali per arrivare alla più celebre formula di Einstein. In questo modo non abbandoniamo gli integrali, ma possiamo dire di aver toccato E = mc2 molto da vicino…
Ritorniamo sull’integrale indefinito, definendolo ancora meglio. Ne approfittiamo per dimostrare formalmente il teorema fondamentale (facoltativo…).
E’ ora di abbandonare la visione geometrica e dedicarci alla vera essenza dell’integrale definito. Alla fine troviamo che esiste un operatore in grado di farci superare tutte le problematiche legate al calcolo delle aree attraverso tanti rettangolini. Una definizione diversa di integrale (chiamato indefinito) ci permette di definire questa operazione. Questo articolo può sembrare banale, come quelli che l'hanno preceduto. In realtà, è così, ma esso nasconde un salto concettuale non indifferente, per cui vi invito di digerirlo molto bene (solo per questo ho inserito i tre asterischi).
Discutiamo un poco attorno al calcolo di aree un po’ strane, proprio ciò che rende, tra molte altre cose, gli integrali uno strumento insostituibile. Non siamo ancora in grado di CALCOLARE realmente gli integrali (e quindi le aree), ma possiamo iniziare a divertirci, preparandoci allo scopo, dividendo, sommando e sottraendo aree parziali e anche … negative.
Quanto descritto in questo articolo può sembrare di una banalità quasi ridicola. Tuttavia, definisce alcune proprietà degli integrali definiti che diventano importantissime nel calcolo vero e proprio degli integrali. E’ nostro dovere affrontarle e dimostrarle con la giusta serietà.
E' venuto l'ora tanto attesa, preparata con tutte le precauzioni del caso. Dopo il triangolo, dove la funzione è una retta inclinata, non abbiamo più problemi a passare a una funzione qualsiasi. Il gioco lo conosciamo bene e ci porta automaticamente alla definizione di integrale definito. Ci fermiamo un poco, prima di proseguire, dato che quasi senza accorgercene abbiamo introdotto il "celebre" integrale di una funzione ed è giusto "digerirlo" molto bene.
Mi sto rendendo conto che aver sospeso la relatività ristretta, per proseguire con una matematica estremamente didattica, può sembrare a molti un po’ noioso e inutile. Ho deciso, allora, di mostrarvi come aver imparato a eseguire gli sviluppi in serie sia già un risultato decisivo per un’applicazione fisica che dà luogo a quella che è generalmente considerata la formula, forse, più conosciuta in assoluto (la sanno anche i bambini…). Per adesso, limitiamoci a un facile quiz matematico… ma chi ha voglia di rifletterci sopra può già capire dove si andrà a parare.
Sospendiamo, brevemente, il lento percorso verso gli integrali e divertiamoci un attimo con la storia della matematica. Il nostro Paolo si è scontrato con la progressione aritmetica e ne ha dato una spiegazione che va più che bene (e che in fondo abbiamo già usato nel capitolo 40). Tuttavia, il calcolo della somma dei termini di una progressione aritmetica è stato risolto analiticamente da un bambino di dieci anni, un po’ sfaticato (non voleva eseguire troppi calcoli inutili), ma piuttosto intelligente! Parliamo di un certo Gauss, considerato il più grande matematico dei tempi moderni…
Non vi arrabbiate se vi sto trattando come dei bambini... ma in questo articolo non facciamo altro che calcolare l'area del rettangolo e poi attraverso di lei tentare con qualcosa di molto più "strano" (un triangolo). In fondo, stiamo solo imitando Archimede e non è certo un'offesa!