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Appartenente alle'insieme delle curve che Hilbert definì "mostruose", la funzione di Cantor-Vitali merita davvero il nome di "scalinata del diavolo". E' l'esempio di una curva debolmente crescente che ha derivata nulla in quasi tutti punti (chiariremo il significato di quel "quasi " più avanti). La curva cresce dal valore 0 al valore 1 senza però essere mai strettamente crescente. Nonostante questo non ha "salti" essendo una funzione continua. Inoltre trasforma un insieme di misura nulla in un intervallo! ma procediamo con calma..

Se nella prima parte abbiamo concluso che scrivere la Divina commedia tramite una scimmia dattilografa non è un evento impossibile, vediamo adesso di dare una stima del numero di tentativi, e quindi del tempo necessario per raggiungere tale risultato.

Può una scimmia dattilografa e tenace , pestando a caso su una tastiera di un computer, scrivere un poema come la Divina commedia? Ebbene si, ma si può anche intuire che questo non è il miglior sistema per scrivere poemi, a meno che la scimmia non sia particolarmente longeva..

In questo articolo finiamo la nostra (breve) trattazione sui numeri complessi; lo scopo è quello di fornire i strumenti minimi i calcolo che ci permettano poi di affrontare argomenti più complicati. Parleremo delle elaborazioni di due grandi personaggi della matematica: Newton e Eulero.

Per gli sviluppi delle nostre matematiche pure è necessario conoscere i numeri complessi, che forse non tutti hanno avuto la fortuna di studiare.I numeri complessi sono forse i numeri più affascinanti della matematica. Essi trovano applicazione in varie branchie della fisica (basti citare l'elettrotecnica e la meccanica quantistica). I primi scritti sicuri sui complessi sono attribuiti a Carl Friedrich Gauss (1777, 1855) la mente più privilegiata della matematica moderna.

Questo articolo è un po' più difficile di quelli trattati finora, richiede una buona capacità di astrazione. Vedremo come generare un gruppo partendo da un insieme qualsiasi. Qualcuno si chiederà a cosa può servire una cosa del genere.. vi anticipo solo che è fondamentale per comprendere uno dei più importanti paradossi della matematica moderna, quello di Banach-Tarski.

In questo articolo ci proponiamo di dare la definizione di numero cardinale usando il concetto di classe di equivalenza visto nell'articolo precedente. Ne approfittiamo anche per introdurre la funzione inversa e la funzione composta di una funzione, a complemento di quanto già visto nell'articolo su corrispondenze e funzioni.

Le relazioni e le classi di equivalenza aprono un altro capitolo estremamente importante della teoria degli insiemi. Tramite le classi di equivalenza è stato possibile formalizzare correttamente le definizioni di numero intero, razionale ed altro ancora. In poche parole costruire una base solida della matematica.