In questa sezione vogliamo dimostrare come le funzioni iperboliche possano anche essere definite attraverso la partecipazione attiva del numero e. Nel contempo vogliamo anche mostrare la relazione che esiste tra funzioni trigonometriche classiche e le funzioni iperboliche. Per fare ciò è fondamentale utilizzare la formula di Eulero, proprio quella che ha portato, come caso particolare, alla sua celeberrima identità, di cui abbiamo già parlato.
L’uso della funzione esponenziale, in particolare di quella che si basa sul numero e, permette di descrivere la celebre spirale logaritmica. Essa rappresenta un passo in più rispetto a quella di Archimede, anche se è altrettanto semplice ed è la curva più utilizzata nel Cosmo, a tutti i livelli di grandezza. Oltretutto, ha anche influenzato le proporzioni armoniose dei monumenti, delle statue e delle pitture, a partire dai capolavori greci (rettangolo aureo). Ovviamente, ha a che fare con i numeri di Fibonacci.
Come già detto, prima di arrivare alla spirale logaritmica, legata strettamente al numero e, soffermiamoci un momento su una spirale più “semplice” che ha, però, permesso ad Archimede di risolvere problemi matematici che sembravano insuperabili. Ci serve anche per fare un po’ di sano esercizio “matematico”.
Passiamo alla definizione di un numero molto particolare e di una funzione che non fa altro che elevarlo a un certo esponente variabile. Concettualmente niente di difficile. Anzi, sembrerebbe una scelta un po’ strana se non sapessimo quanto la Natura ama questo numero così bizzarro e fondamentale.