Eccovi la soluzione che io ho considerato come la più semplice e immediata. Non ve ne era nemmeno bisogno, a seguito delle risposte mandatemi. Tuttavia, ripetere fa sempre bene...
Il nostro caro e appassionato amico Umberto freme dalla voglia di scatenarsi nella dinamica relativistica. Lo ammiro, lo capisco benissimo e penso anche che non sia il solo. Posso assicurarvi che sto già preparando le lezioni corrispondenti, facendo opera non facile di sintesi e di selezione. Penso che, alla fine, saranno contenti tutti, sia i meno preparati che i più smaliziati. Tuttavia, non voglio farmi convincere ad accelerare i tempi. Vorrei dare il meglio di me, senza fretta, ma anche completare il bagaglio culturale necessario per affrontare la parte più esaltante della RR con la dovuta preparazione di base. Eccovi, quindi, un piccolo antipasto, che non dice niente di significativo, ma che cerca di inquadrare la problematica sotto vari punti di vista e che, spero, faccia digerire meglio gli integrali.
No, non sobbalzate sulla sedia. Non è ancora tempo per la dinamica relativistica. Umberto, però, è stato molto gentile nella sua richiesta e io mi sono reso conto che ho ancora un po’ di strada da fare per terminare gli integrali. Ho deciso, allora, di regalare a lui (ma non solo a lui, ovviamente) un piccolo assaggio sotto forma di quiz puramente matematico (per adesso, almeno). La soluzione è molto divertente e alla portata di tutti coloro che hanno seguito le derivate. Permette, tuttavia, di superare uno dei passaggi fondamentali per arrivare alla più celebre formula di Einstein. In questo modo non abbandoniamo gli integrali, ma possiamo dire di aver toccato E = mc2 molto da vicino…
La scelta che abbiamo deciso insieme di fare, ossia arrivare per gradi alle teorie che spiegano (per adesso, almeno) il nostro Universo, si dimostra, indirettamente, vincente. Una volta tanto mi riferisco al solito forum che ben conoscete non per “criticare”, ma per avvalorare ciò che dovrebbe fare una divulgazione che sia veramente utile e umile.
Mi sto rendendo conto che aver sospeso la relatività ristretta, per proseguire con una matematica estremamente didattica, può sembrare a molti un po’ noioso e inutile. Ho deciso, allora, di mostrarvi come aver imparato a eseguire gli sviluppi in serie sia già un risultato decisivo per un’applicazione fisica che dà luogo a quella che è generalmente considerata la formula, forse, più conosciuta in assoluto (la sanno anche i bambini…). Per adesso, limitiamoci a un facile quiz matematico… ma chi ha voglia di rifletterci sopra può già capire dove si andrà a parare.
Se la Relatività Ristretta (RR) permette di descrivere l'Universo e le leggi fisiche dei sistemi inerziali attraverso poche formule fondamentali basate su un numero ristretto di postulati, lo spaziotempo di Minkowski e il corrispondente diagramma ce ne regalano una visione grafica di grande generalità. Tutto l'Universo soggetto alla RR può essere rappresentato in un foglio di carta, utilizzando due sole coordinate. Il diagramma di Minkowski permette di comprendere appieno e di visualizzare direttamente la RR. Le sue applicazioni sono enormi e si estendono anche alla Relatività Generale.
Concludiamo la parte dedicata alla descrizione geometrica della Relatività Ristretta attraverso il diagramma di Minkowski, introducendo un concetto di portata ben più generale, quello di Universo degli Eventi. Inoltre ci divertiamo un poco con l’invariante spaziotemporale, risolvendo, tra l’altro, il quiz sulla distanza spaziotemporale AB. Un articolo abbastanza fondamentale (riguardo al significato più profondo del diagramma) che ci porta al cono di luce e alla rappresentazione globale di tutto l'Universo. E' anche piuttosto lungo, anche se non difficile: digeritelo bene, mi raccomando...
Avrei voluto aspettare un po’ a dare la soluzione grafica di questo quiz dal titolo molto sconvolgente. Abbiamo descritto la RR partendo dall’ipotesi che la velocità della luce sia costante in tutti i sistemi di riferimento e ora sembra che si sia trovato che non è affatto vero. Per non rischiare di creare uno stato confusionario, mi sento obbligato a dimostrare subito che la relatività della velocità della luce è solo un’apparenza dovuta al fatto che se cambia il tempo bisogna anche tener conto che cambia lo spazio…Ovviamente, chi vuole continuare a provare da solo (e lo spero veramente) non legga ancora questo articolo.
Dopo aver dilatato i tempi, divertiamoci, adesso, a contrarre le lunghezze, sempre per via puramente grafica. La dimostrazione è leggermente più complicata di quella precedente (ma tutto si basa sempre sulla necessità di usare più orologi). Come vedremo bisogna passare, prima, attraverso il tempo per arrivare, infine, alle lunghezze. Inoltre, solo la curva di calibrazione ci permetterà di capire che il nostro occhio, abituato alla geometria euclidea, può facilmente sbagliare…
Ormai lo conosciamo bene… Il nostro Alvy non si accontenta mai delle cose … a metà. Aver trovato la composizione relativistica delle velocità, solo in un caso estremamente particolare (anche se è quello che ci serve per il diagramma di Minkowski), gli stava stretto. Accontentiamolo con questa aggiunta più generale. In fondo non è poi molto complicata…
Lo abbiamo già risolto in vari modi, ma, adesso che conosciamo abbastanza bene il diagramma di Minkowski, possiamo permetterci di visualizzare perfettamente cosa succede durante il viaggio, sia da parte di chi viaggia sia di chi sta fermo. Per rendere estremamente “pratica” la situazione, sfrutteremo un contatto diretto tra i due gemelli. In questo modo ci renderemo conto che entrambi non possono che concludere che chi viaggia sull’astronave invecchia di meno, senza che abbiano bisogno di conoscere la trasformazione di Lorentz: basta che facciano entrambi una piccola somma, uno più uno più uno, ecc., ecc…NOTA BENE: ho scritto questo articolo piuttosto in fretta per lasciarvi qualcosa da fare (hi hi hi) durante la settimana di blocco del “circolo”. Io partirò oggi pomeriggio per essere già a Cuneo domattina presto (non si sa mai…). Se trovate qualche errore abbiate pazienza…
Questo articolo è la risposta all’ultimo quiz sulla composizione delle velocità nell’ambito della relatività ristretta. Sarà mia cura inserirlo, in seguito, alla fine dell’articolone generale sulla RR che è ora in evidenza. Dovrò anche rimettere a posto le parti sul diagramma di Minkowski e proseguire con qualche altro concetto fondamentale. Sicuramente, ho fatto un po’ di caos, saltellando di qua e di là e tornando indietro ad approfondire qualche parte più ostica. Prometto che alla fine tutto sarà esposto con maggiore logica e ordine. Chi vuole ancora cimentarsi con il quiz… non legga questo articolo. Per andare avanti basta fare proprio il risultato finale.
In attesa di proseguire con il diagramma di Minkowski, divertiamoci a impostare il paradosso dei gemelli che ci verrà molto utile per controllare se abbiamo compreso esattamente ciò che realmente capita quando si osserva un sistema in movimento. Proviamo a definirlo in modo molto semplificato, evidenziando alcuni punti che spesso non sono spiegati esaurientemente. Un piccolo esercizio senza pretese, ma che può chiarire molti dubbi e confusioni.
Questo articolo vuole solo essere una esercizio per mettere alla prova la comprensione dei concetti che abbiamo descritto finora. E’, quindi, un invito a passare all’azione e controllare se avete digerito la logica descritta finora. Completato l’esercizio, ci fermeremo a osservare i risultati ottenuti e cercheremo di capire la loro “stravaganza”. Questa riflessione servirà come punto di partenza per una trattazione molto più tecnica e generale.
Questo quiz è decisamente difficile, ma qualcuno potrebbe aver voglia di provare (non vi sono formule complicate da applicare se non quelle che già conosciamo bene dalla relatività speciale).
Rispondendo all’ultimo quiz sulla simultaneità, introduciamo ufficialmente il diagramma di Minkowski. Questa parte è estremamente semplice, ma il concetto deve essere compreso molto bene per non andare in crisi non appena introdurremo una nuova distanza invariante.