Risolviamo il problema delle trasformazioni e ci accorgiamo che le formule sono esattamente le stesse che avevamo ottenuto trasformando t in t’ e x in x’.
Ancora una volta non ci sarebbe bisogno di dare la soluzione, tanto sono stati bravi i nostri esperti relativistici. Ne approfitto, perciò, per riproporre un’avventura spaziale che presenta l’orologio a luce e lo offre in un piatto d’argento per la soluzione geometrica finale.
Non ce ne sarebbe nemmeno bisogno, dato che la soluzione è stata “azzeccata” praticamente da tutti quelli che hanno risposto (chi subito, chi con un paio di passaggi). Tuttavia, la ripropongo velocemente.
Lo abbiamo già risolto in vari modi, ma, adesso che conosciamo abbastanza bene il diagramma di Minkowski, possiamo permetterci di visualizzare perfettamente cosa succede durante il viaggio, sia da parte di chi viaggia sia di chi sta fermo. Per rendere estremamente “pratica” la situazione, sfrutteremo un contatto diretto tra i due gemelli. In questo modo ci renderemo conto che entrambi non possono che concludere che chi viaggia sull’astronave invecchia di meno, senza che abbiano bisogno di conoscere la trasformazione di Lorentz: basta che facciano entrambi una piccola somma, uno più uno più uno, ecc., ecc…NOTA BENE: ho scritto questo articolo piuttosto in fretta per lasciarvi qualcosa da fare (hi hi hi) durante la settimana di blocco del “circolo”. Io partirò oggi pomeriggio per essere già a Cuneo domattina presto (non si sa mai…). Se trovate qualche errore abbiate pazienza…
Questo articolo è la risposta all’ultimo quiz sulla composizione delle velocità nell’ambito della relatività ristretta. Sarà mia cura inserirlo, in seguito, alla fine dell’articolone generale sulla RR che è ora in evidenza. Dovrò anche rimettere a posto le parti sul diagramma di Minkowski e proseguire con qualche altro concetto fondamentale. Sicuramente, ho fatto un po’ di caos, saltellando di qua e di là e tornando indietro ad approfondire qualche parte più ostica. Prometto che alla fine tutto sarà esposto con maggiore logica e ordine. Chi vuole ancora cimentarsi con il quiz… non legga questo articolo. Per andare avanti basta fare proprio il risultato finale.
Volevo scrivere un articolo su questo problema estremamente importante della RR. Poi ho pensato che qualcuno di voi potrebbe essere in grado di risolverlo da solo e allora lo inserisco come quiz di pura matematica. Esso ha bisogno solo della trasformazione di Lorentz… In seguito inserirò la soluzione come articolo facente parte della RR.
Questo articolo vuole solo essere una esercizio per mettere alla prova la comprensione dei concetti che abbiamo descritto finora. E’, quindi, un invito a passare all’azione e controllare se avete digerito la logica descritta finora. Completato l’esercizio, ci fermeremo a osservare i risultati ottenuti e cercheremo di capire la loro “stravaganza”. Questa riflessione servirà come punto di partenza per una trattazione molto più tecnica e generale.
La determinazione della linea di simultaneità è fondamentale per entrare nel mondo del diagramma di Minkowski. La determineremo anche matematicamente, ma prima è molto meglio ricavarla in modo grafico e immediato (o quasi…). Essa ci descrive l’asse x’ da accoppiare a t’, per un sistema in movimento, ed è la base per descrivere la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.
Questa è la prima parte della Teoria della Relatività Ristretta o Speciale. Si parte dalla relatività galileiana e si arriva agli effetti che derivano dai postulati di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze. Facciamo conoscenza con la trasformazione di Lorentz , il passo fondamentale per passare da spazio e tempo a spaziotempo. Ricordiamo che l'intera teoria si riferisce SOLO a sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra loro. Non sono quindi valutate le deformazioni spaziotemporali causate dalla gravità e dalla sua accelerazione. La relatività ristretta è quindi una teoria perfettamente simmetrica e niente ha a che vedere con le deformazioni univoche causate dalla relatività generale. Negli articoli seguenti, si toccheranno le ripercussioni della relatività ristretta sulle varie grandezze fisiche (tra cui la celebre E = mc2) e la sua rappresentazione nel diagramma spaziotemporale di Minkowski.
Dopo aver ricavato la dilatazione dei tempi, possiamo facilmente ricavare la contrazione delle lunghezze, sempre utilizzando il fantastico orologio di luce. Ci rendiamo conto che una conseguenza della relatività implica automaticamente l’altra e viceversa.
Ritroviamo la trasformazione di Lorentz attraverso uno “strano” orologio, il cui tic-tac è rapidissimo: l’orologio di luce. Basta un triangolo rettangolo e il gioco è fatto. Ci occupiamo, per adesso, solo della “dilatazione” dei tempi. Introduciamo anche, molto superficialmente, la distanza invariante dello spaziotempo di Minkowski. Ci servirà in seguito…e come!
La trasformazione di Lorentz ci permette di descrivere -e comprendere- con estrema facilità la contrazione della lunghezza di un oggetto in moto rispetto all’osservatore. Un altro effetto, apparentemente assurdo, non è altro che una logica conseguenza dei postulati di Einstein.
E’ giunta l’ora di utilizzare praticamente la trasformazione ricavata partendo solo e soltanto dai postulati di Einstein. Verifichiamo che quanto preannunciato dalla relatività della sincronizzazione porta proprio a tempi diversi a seconda del sistema in cui si svolgono le misure. Capiamo ancora meglio che non è il tempo in sé che cambia, ma la misura di esso eseguita in sistemi diversi. Nel frattempo, siamo affascinati dall’estrema importanza del fattore di Lorentz.
In questo articolo di “passaggio” facciamo qualche riflessione sul vero significato di relatività e, in seguito, mostriamo come sia facile crearsi un sistema di riferimento a quattro dimensioni che abbiano la stessa unità di misura: il vero e proprio spaziotempo. Minkowski si avvicina sempre di più.
Siamo arrivati alla trasformazione di Lorentz, la base matematica della relatività ristretta e dello spazio di Minkowski. Essa segna il passaggio da Galileo a Einstein, dalla meccanica alla fisica. Vi sono molti modi per determinarla. Noi ne useremo uno matematico, in cui la logica ha un’importanza decisiva. Niente di veramente difficile, dato che i passaggi sono poco più che elementari, ma vanno ponderati con attenzione. Un articolo da digerire molto bene, essendo di pura ginnastica mentale.
Avrei voluto completare l’intero passaggio da Galileo a Lorentz, ma sarebbe stato abbastanza lungo, soprattutto se spiegato con dovizia di particolari e di esempi (magari ripetitivi). Dato che, inoltre, alcuni concetti “preparatori” devono essere compresi perfettamente, e non sono così banali come possono sembrare a prima vista, inizio con una specie di “antefatto”. Infine, un passo in avanti piccolo piccolo permette di rimettersi in linea con quanto scritto “molto” tempo fa. Chi va piano va sano e va lontano…